Пространство Браунера

В функциональном анализе и связанных областях математики пространством Браунера называется полное локально выпуклое k-пространство $X$ обладающее последовательностью компактных множеств $K_n$ таких что любое компактное множество $T\subseteq X$ содержится в некотором $K_n$.

Пространства Браунера названы в честь Калмана Браунера, первым начавшего их изучение. Все пространства Браунера стереотипны и находятся в отношении стереотипной двойственности с пространствами Фреше:

• для всякого пространства Фреше $X$ его стереотипно сопряженное пространство $X^{\star }$ является пространством Браунера,

• и наоборот, для любого пространства Браунера $X$ его стереотипно сопряженное пространство $X^{\star }$ является пространством Фреше.

Примеры

• Пусть $M$ — $\sigma$-компактное локально компактное топологическое пространство, а $𝒞(M)$ — пространство непрерывных функций на $M$ (со значениями в $ℝ$ или $ℂ$), наделенное обычной топологией равномерной сходимости на компактах в $M$. Сопряженное пространство ${𝒞}^{\star }(M)$ мер с компактным носителем на $M$ с топологией равномерной сходимости на компактах в пространстве $𝒞(M)$ является пространством Браунера.

• Пусть $M$ — гладкое многообразие и $ℰ(M)$ — пространство гладких функций на $M$ (со значениями в $ℝ$ или $ℂ$), наделенное обычной топологией равномерной сходимости по каждой производной на компактах в $M$. Сопряженное пространство ${ℰ}^{\star }(M)$ распределений с компактным носителем на $M$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в пространстве $ℰ(M)$ является пространством Браунера.

• Пусть $M$ — многообразие Штейна и $𝒪(M)$ — пространство голоморфных функций на $M$, наделенное обычной топологией равномерной сходимости на компактах в $M$. Сопряженное пространство ${𝒪}^{\star }(M)$ аналитических функционалов на $M$ с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в пространстве $𝒪(M)$ является пространством Браунера.

• Пусть $G$ — компактно порожденная группа Штейна. Пространство ${𝒪}_{\exp }(G)$ голоморфных функций экспоненциального типа на $G$, является пространством Браунера относительно естественной топологии.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья