Дельтоидальный гексеконтаэдр

Дельтоида́льный гексеконта́эдр (от «дельтоид» и Шаблон:Lang-grc — «шестьдесят», Шаблон:Lang-grc2 — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный ромбоикосододекаэдру. Составлен из 60 одинаковых выпуклых дельтоидов.

Имеет 62 вершины. В 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими наименьшими углами по 5 граней; в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся своими наибольшими углами по 3 грани; в остальных 30 вершинах (расположенных так же, как вершины икосододекаэдра) сходятся своими средними по величине углами по 4 грани.

• 
  12 вершин расположены так же, как вершины икосаэдра
• 
  20 вершин расположены так же, как вершины додекаэдра
• 
  30 вершин расположены так же, как вершины икосододекаэдра

Имеет 120 рёбер — 60 «длинных» (вместе образующих нечто вроде «раздутого» остова икосаэдра) и 60 «коротких» (образующих «раздутый» остов додекаэдра).

Дельтоидальный гексеконтаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики и углы

Грань дельтоидального гексеконтаэдра

Если «короткие» рёбра дельтоидального гексеконтаэдра имеют длину $b$, то его «длинные» рёбра имеют длину

$a=\frac{1}{6}(7+\sqrt{5})b\approx 1,5393447b.$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

$S=\sqrt{10(437+185\sqrt{5})}{b}^2\approx 92,2319129b^2,$

$V=\frac{1}{3}\sqrt{2(14765+6602\sqrt{5})}{b}^3\approx 81,0041436b^3.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{205}(2855+1269\sqrt{5})}b\approx 2,6347977b,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho =\frac{1}{20}(25+13\sqrt{5})b\approx 2,7034442b,$

радиус окружности, вписанной в грань —

$r_{\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}=\sqrt{{\rho }^2-r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{410}(317+127\sqrt{5})}b\approx 0,6053525b,$

меньшая диагональ грани (делящая грань на два равнобедренных треугольника) —

$e=\sqrt{\frac{1}{10}(25+2\sqrt{5})}b\approx 1,7167451b,$

бо́льшая диагональ грани (делящая грань на два равных треугольника) —

$f=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{5}(75+31\sqrt{5})}b\approx 1,7908292b.$

Описать около дельтоидального гексеконтаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Наибольший угол грани (между двумя «короткими» сторонами) равен $\arccos (-\frac{5+2\sqrt{5}}{20})\approx 118,27^{\circ };$ наименьший угол грани (между двумя «длинными» сторонами) $\arccos \frac{9\sqrt{5}-5}{40}\approx 67,78^{\circ };$ два средних по величине угла (между «короткой» и «длинной» сторонами) $\arccos \frac{5-2\sqrt{5}}{10}\approx 86,97^{\circ }.$

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos (-\frac{19+8\sqrt{5}}{41})\approx 154,12^{\circ }.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld