Ромбоикосододекаэдр

Ромбоикосододека́эдрШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся одна пятиугольная грань, две квадратных и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен $2\pi -\arccos \frac{5-4\sqrt{5}}{15}\approx 1,42\pi .$

Ромбоикосододекаэдр имеет 120 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между треугольной и квадратной гранями) двугранные углы равны $\arccos (-\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{6})\approx 159,09^{\circ };$ при 60 рёбрах (между квадратной и пятиугольной гранями) $\arccos (-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}})\approx 148,28^{\circ }.$

Ромбоикосододекаэдр можно представить либо как додекаэдр, усечённый по вершинам и рёбрам (при этом треугольники соответствуют вершинам додекаэдра, а квадраты — рёбрам), либо как икосаэдр, усечённый таким же образом (при этом пятиугольники соответствуют вершинам икосаэдра, а квадраты — рёбрам), либо же как усечённый икосододекаэдр.

Фрагмент титульного листа «Геометрии» Августина Хиршфогеля (1543)

В координатах

Ромбоикосододекаэдр с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• $(\pm 1;\pm 1;\pm (2\mathrm{\Phi }+1)),$
• $(\pm (\mathrm{\Phi }+1);\pm \mathrm{\Phi };\pm 2\mathrm{\Phi }),$
• $(\pm (\mathrm{\Phi }+2);0;\pm (\mathrm{\Phi }+1)),$

где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Для удобства представления грани ромбоикосододекаэдра можно мысленно разделить на пять «поясов».

Пара каменных ромбоикосододекаэдров возле Капитолия штата Пенсильвания (установлены в 1928 году).

Если ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=(30+5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 59,3059828a^2,$

$V=\frac{1}{3}(60+29\sqrt{5})a^3\approx 41,6153238a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}a\approx 2,2329505a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt{5}}a\approx 2,1762509a.$

Вписать в ромбоикосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоикосододекаэдра с ребром $a$ (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

$r_5=\frac{3}{2}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}a\approx 2,0645729a.$

Расстояния от центра многогранника до квадратных и треугольных граней превосходят $r_5$ и равны соответственно

$r_4=\frac{1}{2}(2+\sqrt{5})a\approx 2,1180340a,$

$r_3=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\frac{5}{3}})a\approx 2,1570199a.$

В культуре

Соединители в Zometool

В наборах для моделирования пространственных фигур Zometool в качестве соединителей используются рёберные каркасы ромбоикосододекаэдра.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld