Теорема о дисконтинууме

Теорема о дисконтинууме — утверждение о том, что между точками любых двух ограниченных дисконтинуумов можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок следования точек на прямой.

Формулировка

Всякое ограниченное, совершенное, нигде не плотное линейное множество подобно канторову множеству, и, следовательно, все такие множества подобны друг другу.

Пояснение

Два линейных точечных множества $A$ и $B$ называются подобными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок следования точек на прямой, то есть такое, что если $x^{\prime }\leftrightarrow y^{\prime }$, $x^{″}\leftrightarrow y^{″}$, $x^{\prime },x^{″}\in A,y^{\prime },y^{″}\in B$ и $x^{\prime }<x^{″}$, то $y^{\prime }<y^{″}$.

Доказательство

Пусть $P$ — линейное ограниченное, совершенное, нигде не плотное множество. Оно получается из наименьшего отрезка $[a,b]$, его содержащего, выбрасыванием счётного числа интервалов, не имеющих попарно общих точек и концов. Смежных интервалов будет обязательно счётное множество, так как при конечном числе смежных интервалов $P$ не было бы нигде не плотным. Пусть $V$ — наибольший по длине смежный интервал множества $P$ или, если таких интервалов несколько (конечное число), самый левый из них. Отрезки, получившиеся после удаления $V$ из $[a,b]$, обозначим через ${\delta }_0$ и ${\delta }_2$. Пусть $V_0$ — наибольший по длине смежный интервал множества $P$, лежащий на ${\delta }_0$ или самый левый Обозначим через ${\delta }_{00}$ и ${\delta }_{02}$ отрезки, остающиеся после удаления из ${\delta }_0$ интервала $V_0$. Аналогично приходим к интервалу $V_2$ и отрезкам ${\delta }_{20}$ и ${\delta }_{22}$ и так далее. Отметим, что при каждом шаге на каждом из отрезков ${\delta }_{j_1{j}_2...j_k}$ будут обязательно смежные интервалы, так как в противном случае весь этот отрезок принадлежал бы $P$ и множество $P$ не было бы нигде не плотным. Таким образом: $P=[a,b]\mathrm{\setminus }V\mathrm{\setminus }(V_0\cup V_2)\mathrm{\setminus }(V_{00}\cup V_{02}\cup V_{20}\cup V_{22})\mathrm{\setminus }...$. Получаем, что каждая точка $x\in P$ определяется счётным множеством индексов, принимающих независимо два значения: $y=y_{j_1{j}_2...j_k...}$, где $j_k=0,2$. Пусть $y$ и $y^{\prime }$ — две различные точки множества $P$: $y=y_{j_1{j}_2...j_k...}$, $y^{\prime }=y{\text{'}}_{j{\text{'}}_{1}j{\text{'}}_2...j{\text{'}}_k...}$. Предположим, что $y$ и $y^{\prime }$ лежат на одном и том же отрезке 1-го, 2-го, ..., (k-1)-го ранга, но на разных отрезках k-го ранга. Тогда $j_1=j{\text{'}}_1,j_2=j{\text{'}}_2,...,j_{k-1}=j{\text{'}}_{k-1},j_k\ne j{\text{'}}_k$. Ясно, что если $j_k=0,j{\text{'}}_k=2$, то $y<y^{\prime }$ и обратно, если $y^{\prime }<y$, то $j_k=2,j{\text{'}}_k=0$. Доказательство теоремы завершает установление взаимно однозначного соответствия $x_{i_1{i}_2...i_k...}\leftrightarrow y_{j_1{j}_2...j_k...}$ если $i_1=j_1,i_2=j_2,...,i_k=j_k,...$.

См. также

• Дисконтинуум

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 75.