Теорема Пенлеве
Теорема Пенлеве — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной области. Доказана французским математиком Полем Пенлеве в 1887 году[1][2]
Формулировка
Уравнения первого порядка , алгебраические относительно неизвестной функции и её производной (то есть — многочлен относительно и и аналитическая функция от ), не могут иметь в интегралах подвижных трансцендентных и существенно особых точек.
Пояснения
Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменногоШаблон:Sfn. Существенно особой точкой называется особая точка, если есть пути, ведущие к ней, вдоль которых функция не стремится к определённому пределу Шаблон:Sfn. Особая точка называется трансцендентной, если область неопределенности состоит из одной точки и существенно особой, если область неопределенности состоит не из одной точкиШаблон:Sfn. Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой Шаблон:Sfn.
Доказательство
Доказательство теоремы Пенлеве занимает три страницы в книге Шаблон:Sfn.