Шары Данделена

Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.

Описание

Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям $C$ и $C^{'}$ и касающиеся секущей плоскости в точках $F$ и $F^{'}$ . Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

Применение к построению сечений

Если взять произвольную точку $P$ на линии пересечения конуса и плоскости $e$ и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями $C$ и $C^{'}$ в точках $Q$ и $Q^{'}$ , то при перемещении точки $P$ , точки $Q$ и $Q^{'}$ будут перемещаться по окружностям $C$ и $C^{'}$ с сохранением расстояния $Q Q^{'}$ .

Так как $P Q$ и $P F$ — отрезки двух касательных к сфере из одной точки $P$ , то $P Q = P F$ и, аналогично, $P Q^{'} = P F^{'}$ .

Таким образом точки на линии пересечения

имеют постоянную сумму $P F + P F^{'} = P Q + P Q^{'} = Q Q^{'}$ и значит, что множество возможных точек $P$ — это есть эллипс, а точки $F$ и $F^{'}$ — его фокусы.
или имеют постоянную разницу $P F - P F^{'} = P Q - P Q^{'} = Q Q^{'}$ и значит, что множество возможных точек $P$ — это есть гипербола, а точки $F$ и $F^{'}$ — её фокусы.

Плоскость $e$ пересекает плоскости, в которых лежат окружности $C$ и $C^{'}$ по прямым, являющимся директрисами конического сечения^[1]Шаблон:Rp. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости $e$ отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть $P$ лежит на линии пересечения, $c$ - плоскость окружности $C$ . Пусть плоскости $c$ и $e$ пересекаются по прямой $l$ , $P H$ - перпендикуляр из $P$ на $l$ , $P K$ - перпендикуляр из $P$ на $c$ . Нетрудно заметить, что $\frac{P H}{P K} = \sin α$ , где $α$ — угол между плоскостями $c$ и $e$ . $\frac{P K}{P F} = \frac{P K}{P Q} = \frac{1}{\cos φ}$ , где $φ$ — угол между осью конуса и его образующей. Перемножив два отношения, получим, что $\frac{P H}{P F} = \frac{\sin α}{\cos φ}$ , то есть величина, не зависящая от выбора точки $P$ . Величина $\frac{P F}{P H}$ , обратная ей, называется эксцентриситетом коники. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности $C^{'}$ .) В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, $α = 9 0^{\circ} - φ$ , откуда $\frac{P F}{P H} = \frac{\cos φ}{\sin α} = 1$ , то есть $P F = P H$ . Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).