Теорема Дирихле о диофантовых приближениях

Шаблон:Значения Теорема Дирихле о диофантовых приближениях гласит, чтоШаблон:Sfn Шаблон:Рамка Для любого вещественного числа $\alpha$ и натурального Q существуют целые p и q, $1⩽q⩽Q$, удовлетворяющие условию

$|\alpha q-p|<\frac{1}{Q}$

Она является следствием принципа Дирихле. Теорема была доказана Дирихле в 1842 году.

Некоторые следствия

Пусть $\alpha$ — иррациональное число. Тогда существует бесконечное множество несократимых дробей $\frac{p}{q},$ неограниченно близких к $\alpha$ в следующем смысле:

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}$

Практическое построение таких приближений несложно выполнить с помощью цепных дробей.

Вариации и обобщения

Принцип Дирихле позволяет доказать и более общую теорему: Шаблон:Рамка для любых вещественных чисел ${\alpha }_1,...,{\alpha }_n$ и натурального $Q>1$ существуют такие целые $0<q<Q,a_1,...,a_n$, что

$|{\alpha }_{i}q-a_i|<\frac{1}{\sqrt[n]{Q}}$

Литература

• Шаблон:Книга