Уравнение трёх моментов

Уравнение трёх моментов — уравнение для расчёта моментов в задаче об изгибе неразрезной многопролётной балки.

Известно, что балка при наличии дополнительных опор становится статически неопределимой. Одним из методов расчёта таких балок является метод сил. С помощью данного метода выводится уравнение трёх моментов:

$M_{i-1}{l}_i+2M_i(l_i+l_{i+1})+M_{i+1}{l}_{i+1}=-6(\frac{{\mathrm{\Omega }}_i{a}_i}{l_i}+\frac{{\mathrm{\Omega }}_{i+1}{b}_{i+1}}{l_{i+1}}).$

Здесь ${\mathrm{\Omega }}_i$ — площадь эпюры моментов i-й статически определимой балки, $a_i$ — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до левого конца балки, $b_i$ — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до правого конца балки, $l_i=a_i+b_i$ — длина i-й балки.

Вывод уравнения трёх моментов предусматривает, что после введения шарниров над опорами получается статически определимая система из $n$ балок, каждая из которых представляет простую балку с опорами по концам. Неизвестные в методе сил — моменты, приложенные по концам независимых балок.

История

Мост через Сену в Аньере.
Винсент ван Гог, 1887

Впервые уравнение для расчёта неразрезных балок применил мостостроитель и путейский инженер Берто (Bertot) в 1855 г. Сам же метод применялся ранее (1849) при реконструкции моста через Сену в Аньере (пригород Парижа, ныне известный как Аньер-сюр-Сен, Шаблон:Lang-fr), но опубликован Клапейроном в трудах Академии наук только в 1857 г. Так как идея основной системы с неизвестными моментами над опорами впервые была высказана Клапейроном, уравнение трёх моментов связывают с его именем. Дальнейшее развитие теория неразрезных балок получила в работах Отто Мора, который обобщил теорию на случай, когда опоры расположены на разной высоте (1860).

Процедура применения

Процедура решения задачи с использованием уравнения трёх моментов такова.

1.  Балка режется на отдельные части (простые балки) дополнительными внутренними шарнирами в местах крепления опор.

Обозначения реакций образовавшихся связей: — моменты $M_0,M_1,...,M_n$.

2.  Нумеруются пролёты (участки балки между опорами). Число пролётов равно $n$. Левая консоль считается нулевым пролётом, правая имеет номер $n+1$. Длины пролётов: $l_i$, $i=0,...,n+1$.

3.  Из условия равновесия консольных частей определяются моменты $M_0$ и $M_n$. Остальные моменты являются неизвестными системы $n-1$ уравнений трёх моментов.

4.  Строятся эпюры моментов $M_p$ и перерезывающих сил $Q_p$ в пролётах и консолях (если они есть) балки от действия внешней нагрузки. Каждый пролёт представляет собой отдельную статически определимую балку.

5.  Вычисляются площади эпюр моментов ${\mathrm{\Omega }}_i$, $i=1,...,n$ в пролётах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой ($a_i$) и правой ($b_i$) опоры соответствующего пролёта.

6.  Решение системы уравнений трёх моментов складывается с эпюрами моментов от внешней нагрузки. Полученная эпюра есть эпюра моментов в неразрезной балке.

Пример

Построить эпюру моментов в неразрезной балке длиной 19 метров с четырьмя опорами (рис. 1). На балку действует распределённая нагрузка $q_1=10$ кН/м, $q_2=12$ кН/м и сосредоточенная сила $P=9$ кН.

Рис. 1

Длина консоли: $l_0=4$ м. Длины пролетов: $l_1=l_2=l_3=5$ м. Получаем основную систему метода сил, вводя шарниры над опорами (рис. 2). Моменты $M_0$ и $M_3$ — величины известные и определяются из условия равновесия консолей. Правой консоли здесь нет, $M_3=0$. Для левой консоли получаем $M_0=q_1{l}_0^2/2$.

Рис. 2

Строим эпюры моментов от внешней нагрузки в независимых балках основной (статически определимой) системы (рис. 3). Эпюры строим на сжатом волокне (как принято в машиностроении; в строительстве и архитектуре эпюры моментов принято строить на растянутом волокне).

Рис. 3

Записываем уравнения трёх моментов:

$l_1{M}_0+2M_1(l_1+l_2)+M_2{l}_2=-6({\mathrm{\Omega }}_1{a}_1/l_1+{\mathrm{\Omega }}_2{b}_2/l_2),$

$l_2{M}_1+2M_2(l_2+l_3)+M_3{l}_3=-6({\mathrm{\Omega }}_2{a}_2/l_2+{\mathrm{\Omega }}_3{b}_3/l_3).$

Здесь ${\mathrm{\Omega }}_1=10.8\cdot 5/2=27,$ $a_1=(2+5)/3=2.333,$ ${\mathrm{\Omega }}_2={\mathrm{\Omega }}_3=2f{l}_2/3=125,$ $a_2=b_2=a_3=b_3=2.5.$ Решаем систему уравнений $M_1=7.301$ кНм, $M_2=-39.325$ кНм. Строим эпюру от этих моментов (рис. 4).

Рис. 4

Складываем (по точкам) эпюры от нагрузки (рис. 3) и от моментов (рис. 4). Получаем эпюру моментов в балке (рис. 5).

Рис. 5

Очевидным достоинством метода является простота матрицы системы линейных уравнения задачи. Эта матрица — трёхдиагональная, что позволяет применять различные упрощённые численные схемы решения.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга