Трёхдиагональная матрица

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби называют ленточную матрицу следующего вида:

$\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ c_1& a_2& b_2\\ & c_2& \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ & & & c_{n-1}& a_n\end{array}\right),$

где во всех остальных местах, кроме главной диагонали и двух соседних с ней, стоят нули.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математической физики. Краевые условия $x_1$ и $x_n$, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так, краевое условие первого рода $F{|}_{x=x_1}=f_1$ определит первую строку в виде $c_1=1$, $b_1=0$, а краевое условие второго рода $\frac{\partial F}{\partial x}{|}_{x=x_1}=f_1$ будет соответствовать значениям $c_1=-1$, $b_1=1$.

Определитель

Определитель трёхдиагональной матрицы задается следующей рекуррентной формулой. Положим

$f_n=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ c_1& a_2& b_2\\ & c_2& \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ & & & c_{n-1}& a_n\end{array}\right|$

для всех n > 1 и f₁ = a₁. Тогда

$f_n=a_n{f}_{n-1}-c_{n-1}{b}_{n-1}{f}_{n-2},$

где f₀ = 1 и f_-1 = 0.

Метод прогонки

Для решения систем линейных уравнений вида Ax = F, где A — трёхдиагональная матрица, обычно используется метод прогонки.

См. также

• Континуанта
• Список матриц

Литература

• В.П. Ильин, Ю.И. Кузнецов Трёхдиагональные матрицы и их приложения. - Шаблон:М., Наука, 1985. - 208 c.