Континуанта

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску

Континуанта — определённый многочлен от нескольких переменных, связанный с цепными дробями.

Определения

Рекуррентное

Континуанта индекса n есть многочлен Kn(x1,…,xn), определяемый рекуррентным соотношением:

K−1=0,K0=1,
Kn(x1,…,xn)=xnKn−1(x1,…,xn−1)+Kn−2(x1,…,xn−2).

Через определитель

Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы

Kn(x1,x2,…,xn)=det⁡(x110⋯0−1x21⋱⋮0−1⋱⋱0⋮⋱⋱⋱10⋯0−1xn).

Свойства

  • Континуанта Kn(x1,…,xn) есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена x1⋅…⋅xn вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
    • Пример:
      K5(x1,x2,x3,x4,x5)=x1x2x3x4x5+x3x4x5+x1x4x5+x1x2x5+x1x2x3+x1+x3+x5.
    • Следствие:
      Континуанты обладают зеркальной симметрией: Kn(x1,…,xn)=Kn(xn,…,x1).
  • Kn(1,…,1)=Fn+1 — число Фибоначчи.
  • Справедливо тождество:
    Kn(x1,…,xn)Kn−1(x2,…,xn)=x1+Kn−2(x3,…,xn)Kn−1(x2,…,xn)
  • В поле рациональных дробей
    Kn(x1,…,xn)Kn−1(x2,…,xn)=[x1;x2,…,xn]=x1+1x2+1x3+… — цепная дробь.
  • Справедливо матричное соотношение:
    (Kn(x1,…,xn)Kn−1(x1,…,xn−1)Kn−1(x2,…,xn)Kn−2(x2,…,xn−1))=(x1110)×…×(xn110).
    • Откуда для определителей получается тождество:
      Kn(x1,…,xn)⋅Kn−2(x2,…,xn−1)−Kn−1(x1,…,xn−1)⋅Kn−1(x2,…,xn)=(−1)n.
    • А также:
      Kn−1(x2,…,xn)⋅Kn+2(x1,…,xn+2)−Kn(x1,…,xn)⋅Kn+1(x2,…,xn+2)=(−1)n+1xn+2.

Ссылки

Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Континуанта&oldid=585