Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского

Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского — критерий существования решения в обобщенных квадратурах линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения произвольного порядка.

История

Частный случай критерия (для линейных однородных уравнений второго порядка) был доказан французским математиком Лиувиллем в 1839 году. Развивая метод Лиувилля, русский математик Мордухай-Болтовской в 1910 году доказал критерий для уравнений произвольного порядка:

Формулировка

Дифференциальное уравнение n-го порядка

$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n}y=0$

с коэффициентами $p_i$ из функционального дифференциального поля $K$, все элементы которого представимы в обобщенных квадратурах, решается в обобщенных квадратурах, тогда и только тогда, когда выполнены оба следующие условия:

• Во-первых, оно имеет решение вида

$y_1(x)=\exp \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt,$

где $f$ — функция, лежащая в некотором алгебраическом расширении $K_1$ поля $K$,

• Во-вторых, дифференциальное уравнение (n−1)-го порядка на функцию $z=y^{\prime }-\frac{{y_1}^{\prime }}{y_1}y$ с коэффициентами из поля $K_1$, полученное из исходного уравнения процедурой понижения порядка, решается в обобщенных квадратурах над полем $K_1$.

Литература

• Шаблон:Книга