Метод регуляризации Тихонова

Андрей Николаевич Тихонов.

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида $Ax=u$. Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения $Ax=u$ в виде $x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )$, где $R(u_{\delta },\alpha )$ — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении $u_{\delta }$ к точному значению $u_T$ при $\delta \to 0$ приближённое решение $x_{\delta }$ стремилось бы к желаемому точному решению $x_T$ уравнения $A{x}_T=u_T$Шаблон:Sfn.

Регуляризирующий оператор

Оператор $R(u,\alpha )$, зависящий от параметра $\alpha$, называется регуляризующим для уравнения $Ax=u$, если он обладает свойствами:

• Определён для всякого $\alpha >0$ и любого $u\in U$.
• Если выполняется $A{x}_T=u_T$, то существует такое $\alpha (\delta )$, что для любого $\epsilon >0$ найдётся такое $\delta (\epsilon )$, что если ${\rho }_U(u_T,u_{\delta })⩽\delta (\epsilon )$, то ${\rho }_F(x_T,x_{\alpha })⩽\epsilon$, где $x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$, $\alpha =\alpha (\delta )$, ${\rho }_U$ — метрика в пространстве $U$ (то есть ${\rho }_U(u_T,u_{\delta })$ — расстояние между векторами $u_T$ и $u_{\delta }$), а ${\rho }_F$ — метрика в пространстве $X$.

Способ построения регуляризирующих операторов

Для широкого класса уравнений $Ax=u$ А. Н. Тихонов показал, что решение задачи $x_{\alpha }$ минимизации функционала $M^{\alpha }[u_{\delta },x]={\rho }_U^2(Ax,u_{\delta }{)}^2+\alpha \mathrm{\Omega }\left[x\right]$ можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра $\alpha$ $x_{\alpha }=R_1(u_{\delta },\alpha )$. Функционал $\mathrm{\Omega }\left[x\right]$ называется стабилизатором задачи $Ax=u$.

Пример применения

Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение $X$ системы линейных уравнений $AX=B$ с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы $A$ и столбца $B$ в случае, когда значения элементов матрицы $A$ и столбца свободных членов $B$ заданы лишь приближённо.

Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: $AX=B$. Назовем сферическими нормами величины $\Vert B\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^m{b}_i^2},\Vert X\Vert =\sqrt{\sum _{j=1}^n{x}_j^2},\Vert A\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2}$. Обозначим как $\tilde{A},\tilde{B}$ известные приближённые значения элементов матрицы $A$ и столбца $B$. Матрицу $\tilde{A}$ и столбец $\tilde{B}$ будем называть $\delta$-приближением матрицы $A$ и столбца $B$, если выполняются неравенства $\Vert A-\tilde{A}\Vert <\delta ,\Vert B-\tilde{B}\Vert <\delta$. Введём в рассмотрение функционал $F(X,\tilde{A},\tilde{B})=\Vert \tilde{A}X-\tilde{B}{\Vert }^2+\alpha \Vert X{\Vert }^2$. Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений $AX=B$ к отысканию того элемента $X^{\alpha }$, на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема Тихонова

Пусть матрица $A$ и столбец $B$ удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы $AX=B$, $X^0$ — нормальное решение этой системы, $\tilde{A}$ — $\delta$-приближение матрицы $A$, $\tilde{B}$ — $\delta$-приближение столбца $B$, $\epsilon \left(\delta \right)$ и $\alpha \left(\delta \right)$ — какие-либо убывающие функции $\delta$, стремящиеся к нулю при $\delta \to +0$ и такие, что ${\delta }^2⩽\epsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$. Тогда для любого $\epsilon >0$ найдётся положительное число ${\delta }_0$ такое, что при любом $\delta <{\delta }_0$ и при любом $\alpha$, удовлетворяющем условию $\frac{1}{\epsilon \left(\delta \right)}{\delta }^2⩽\alpha ⩽\alpha \left(\delta \right)$, элемент $X^{\alpha }$, доставляющий минимум функционалу $F(X,\tilde{A},\tilde{B})={\Vert \tilde{A}X-\tilde{B}\Vert }^2+\alpha {\Vert X\Vert }^2$, удовлетворяет неравенству $\Vert X^{\alpha }-X^0\Vert ⩽\epsilon$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Метод регуляризации А. Н. Тихонова для решения операторных уравнений первого рода