Переменные Мандельштама

Переменные Мандельштама — три скалярные релятивистские инвариантные величины, сохраняющиеся в процессе рассеяния двух элементарных частиц с образованием двух новых или сохранением двух старых элементарных частиц или в процессе распада одной элементарной частицы на три. Обычно обозначаются как $s,t,u$. Были введены американским физиком Стэнли Мандельштамом (1928—2016) в 1958 году. Процесс рассеяния можно полностью описать, задав значения только двух переменных Мандельштама. Каждая из них равна квадрату полной энергии некоторой пары частиц в той системе координат, в которой их центр покоится.Шаблон:Sfn

Определение

Рассмотрим процесс рассеяния двух элементарных частиц с векторами энергии-импульса $p_1,p_2$ и образования после взаимодействия двух новых или сохранения двух старых элементарных частиц с векторами энергии-импульса $p_3,p_4$. Соотношения между энергией и массой имеют вид:

$p_i^2=g_{\mu \nu }{p}_i^{\mu }{p}_i^{\nu }=m_i^2{c}^2.$

В пространстве-времени с метрикой $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,-1,-1,-1)$ они приобретают вид

$m_i^2{c}^4=E_i^2-p_i^2{c}^2,$

или в релятивистских единицах $(c=1)$

$m_i^2=E_i^2-p_i^2.$

Здесь $i=1,2,3,4$ — индекс элементарной частицы. Сохранение каждой компоненты вектора энергии-импульса выражается уравнением:

$p_1+p_2=p_3+p_4.$

Из этого уравнения можно получить три переменных Мандельштама в релятивистских единицах $(c=1)$:

• $s=(p_1+p_2{)}^2=(p_3+p_4{)}^2$
• $t=(p_1-p_3{)}^2=(p_2-p_4{)}^2$
• $u=(p_1-p_4{)}^2=(p_2-p_3{)}^2$

Свойства

Переменные Мандельштама связаны соотношением:

$s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2.$

Литература

• Шаблон:Книга