Метрика пространства-времени

Схематическая двумерная иллюстрация искривления пространства-времени возле массивного тела

Метрика пространства-времени — 4-тензор, который определяет свойства пространства-времени в общей теории относительности.

Как правило, обозначается символом $g_{ij}$.

В инерциальной системе отсчёта матрица метрического тензора пространства-времени имеет вид

$\hat{g}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$.

В неинерциальных системах отсчёта вид метрики пространства-времени изменяется и в общем зависит от точки пространства и момента времени.

Метрика пространства-времени задаёт искривление пространства, которое ощущает наблюдатель, который движется с ускорением. Так как, исходя из принципа эквивалентности, наблюдатель никаким образом не может отличить неинерционность связанной с ним системы отсчёта от гравитационного поля, метрика пространства-времени определяет также искривление пространства в поле массивных тел.

Пространственно-временной интервал выражается через метрику пространства-времени формулой

$d{s}^2=g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$.

Так как метрика задаёт превращения координат, то её называют также метрическим тензором.

Метрика пространства-времени используется для установления связи между ковариантными и контравариантными записями любого 4-вектора

$A_i=g_{ij}{A}^j$.

Свойства

Метрический тензор симметричный относительно своих индексов, то есть $g_{ij}=g_{ji}$. Это видно из общей формулы для квадрата дифференциала пространственно-временного интервала. Детерминант метрики пространства-времени, который обозначается через g, отрицательный.

Контравариантная форма метрического тензора связана с ковариантной с помощью полностью антисимметрического тензора четвёртого порядка

$E^{ijkl}=\frac{1}{\sqrt{-g}}{e}^{ijkl}$,

где $e^{ijkl}$ — обычный полностью антисимметрический тензор, определённый в инерционной системе отсчёта, то есть тензор, компоненты которого равны 1 или -1 и меняют знак при перестановке каких-либо двух индексов.

Таким образом

$g^{ij}=\frac{1}{\sqrt{-g}}{e}^{ijkl}{g}_{kl}$

Метрический тензор, как и какой-либо симметрический тензор, возможно выбором системы отсчёта свести к диагональному виду. Однако эта операция справедлива только к определённой точке пространства-времени и, в общем случае, не может быть проведена для всего пространства-времени.

Собственное время

Квадрат дифференциала пространственно-временного интервала для одной пространственной точки равен

$d{s}^2=g_{00}(d{x}^0{)}^2=c^{2}d{\tau }^2$,

где с — скорость света в вакууме.

Величину

$\tau =\frac{1}{c}\int \sqrt{g_{00}}d{x}^0$

называют собственным временем для данной точки пространства.

Пространственный интервал

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками задаётся формулой

$d{l}^2={\gamma }_{\alpha \beta }d{x}^{\alpha }d{x}^{\beta }=(-g_{\alpha \beta }+\frac{g_{\alpha 0}{g}_{0\beta }}{g_{00}})d{x}^{\alpha }d{x}^{\beta }$

Греческие индексы используются тогда, когда суммирование ведётся лишь по пространственным координатам. Тензор ${\gamma }_{\alpha \beta }$ есть метрический тензор для трёхмерного пространства.

Интегрировать определённое таким образом расстояние нельзя, так как результат зависел бы от мировой линии, по которой бы велось интегрирование. Таким образом, в общей теории относительности понятия расстояния между далёкими объектами в трёхмерном пространстве теряет смысл. Единственное исключение — ситуация, в которой метрический тензор $g_{ij}$ не зависит от времени.

См. также

• Статическая изотропная метрика

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web