K-пространство (топология)

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Math-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

Определение

Топологическое пространство $X$ называют Шаблон:Math-пространством, если его топология согласована с семейством всех его компактных подпространств, то есть если в нём для каждого подмножества $A\subset X$ выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

• Множество $A$ замкнуто в $X$ тогда и только тогда, когда всякое его пересечение $A\cap K$ с каждым компактным множеством $K\subset X$ замкнуто в этом множестве $K$.
• Множество $A$ открыто в $X$ тогда и только тогда, когда всякое его пересечение $A\cap K$ с каждым компактным множеством $K\subset X$ открыто в этом множестве $K$.

Часто под Шаблон:Math-пространством понимают только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие вышеуказанному определению.

Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение Шаблон:Math-пространства: хаусдорфово пространство $X$ является Шаблон:Math-пространством, в том и только в том случае, если оно есть образ некоторого локально компактного хаусдорфова пространства при факторном отображении (то есть оно гомеоморфно некоторому факторпространству локально компактного хаусдорфова пространства).

Отображения в Шаблон:Math-пространствах

Отображение $f:X\to Y$ Шаблон:Math-пространства $X$ в произвольное топологическое пространство $Y$ непрерывно в том и только в том случае, если всякое сужение этого отображения $f{|}_K$ на компактное множество $K$ непрерывно.

Непрерывное отображение $f:X\to Y$ произвольного топологического пространство $X$ в Шаблон:Math-пространство $Y$ замкнуто (открыто, факторно) в том и только в том случае, если для каждого компактного подмножества $K$ из области значений $Y$ сужение этого отображения $f_K:f^{-1}(K)\to K$ замкнуто (соответственно открыто, факторно).

Если даны два факторных отображения $f_1:X_1\to Y_1$ и $f_2:X_2\to Y_2$, у которых области определения $X_1$ и $X_2$ и произведение областей значений $Y_1\times Y_2$ являются Шаблон:Math-пространствами, то декартово произведение этих отображений $f_1\times f_2:X_1\times X_2\to Y_1\times Y_2$ является факторным отображением.

Сохранение при операциях

Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова Шаблон:Math-пространства является Шаблон:Math-пространством. Однако произвольное подпространство хаусдорфова Шаблон:Math-пространства может не быть Шаблон:Math-пространством.

Сумма семейства топологических пространств является Шаблон:Math-пространством тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства являются Шаблон:Math-пространствами.

Произведение хаусдорфова Шаблон:Math-пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является Шаблон:Math-пространством. При этом произведение двух Шаблон:Math-пространств в общем случае не является Шаблон:Math-пространством.

Хаусдорфов образ хаусдорфова Шаблон:Math-пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является Шаблон:Math-пространством. При этом образ хаусдорфова Шаблон:Math-пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть Шаблон:Math-пространством, даже если он совершенно нормален.

Связь с другими классами пространств

Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является Шаблон:Math-пространством.

Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является Шаблон:Math-пространством.

Всякое пространство точечно счётного типа является Шаблон:Math-пространством.

Каждый CW-комплекс является Шаблон:Math-пространством.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга