Керальская школа астрономии и математики

Шаблон:TOCright Кера́льская школа астрономии и математики — научная школа, которая существовала в Индии в XIV—XVII веках и внесла заметный вклад в астрономию и математику.

История

После завоевания мусульманами северной Индии в XI веке (Махмуд Газневи) центр научной деятельности индийцев переместился в южную провинцию Керала. Основателем школы стал Мадхава из Сангамаграмы. Среди других видных учёных керальской школы:

• Шаблон:Нп5
• Дамодара
• Нилаканта Сомаяджи
• Шаблон:Нп5

Последними представителями школы были в XVII веке Ачьюта Пишарати и Нараяна Бхаттатири. Свои результаты керальцы публиковали в трактатах (сиддхантах) на санскрите, излагая их чаще всего без доказательств, нередко стихами.

Преимущественным направлением исследований в Керале была астрономия, но при решении астрономических задач были сделаны важные математические открытия. В частности, опередив европейских математиков на два века, учёные школы получили разложение тригонометрических функций в бесконечные степенные рядыШаблон:Sfn. В Европе их достижения долго оставались неизвестными и были обнаружены историками только в XIX веке.

Научные достижения

Астрономия

Астрономы Керальской школы с высокой точностью измерили величину предварения равноденствий, а также продолжительность года, лунного месяца и других астрономических констант.

В 1500 году Нилаканта Сомаяджи в своей «Тантрасанграхе» предложил модификацию системы мира, ранее описанной Ариабхатой. В своей Ариабхатавахьязе, комментариях к Ариабхатье, он предложил модель, где планеты Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн обращаются вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, вокруг Земли. Эта гео-гелиоцентрическая система напоминает предложенную Тихо Браге в конце XVI века. Большинство астрономов Керальской школы приняли его модель.

Математика

Керальская школа, как и вся индийская математика, имела заметный вычислительный уклон. Например, учёные постоянно работали над вычислением числа $\pi$ со всё возрастающей точностью. Для астрономических вычислений им удалось впервые найти разложение тригонометрических и иных функций в бесконечные ряды. Общей теории таких разложений и дальнейшего продвижения в направлении математического анализа у керальцев не было.

Бесконечные ряды приводятся в четырёх керальских сиддхантах:

1. «Научный справочник» (Тантрасанграха), опубликован Нилакантой.
2. «Техника действий» (Каранападдхати).
3. «Нить светящихся жемчужин» (Садратанамала).
4. «Объяснительный комментарий» (Юкти-бхаша), это комментарий к «Тантрасанграхе».

Кроме тригонометрических функций, в сиддхантах приводится разложение алгебраической дроби, впрочем, известное ещё Ибн аль-Хайсаму (XI век):

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots ,$ если $|x|<1$

Разложения керальцами тригонометрических функций, вероятно, были получены ещё Мадхавой, но появились впервые в трактате Нилаканты «Тантрасанграха» и в современных обозначениях имели вид:

$r\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{1}\cdot \frac{ry}{x}-\frac{1}{3}\cdot \frac{r{y}^3}{x^3}+\frac{1}{5}\cdot \frac{r{y}^5}{x^5}-\cdots ,$ где $y⩽x.$

$r\sin \frac{x}{r}=x-x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}+x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2+4)r^2}-\cdot$

$r(1-\cos \frac{x}{r})=r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}-r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2-4)r^2}+\cdots ,$

При $r=1$ ряды упрощаются и принимают более распространённый вид:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

Для получения этих формул было проведено спрямление дуги окружностиШаблон:Sfn. В Европе ряд для арктангенса впервые опубликовал Джеймс Грегори в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — Исаак Ньютон в 1666 году..

Из ряда для арктангенса легко получить ряд для вычисления числа $\pi$:

$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$

Ряд этот сходится медленно, поэтому для практических расчётов его преобразуют к виду:

$\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{3^3-3}-\frac{1}{5^3-5}+\frac{1}{7^3-7}-\cdots$

Как подсчитал Нилаканта, $\pi \approx 3,141592653.$ Керальцы получили также из этих рядов довольно точные приближения числа $\pi$ в виде дробей.

Из других математических достижений керальской школы можно упомянуть, что Нилаканта уверенно заявил о несоизмеримости длины окружности с её диаметром, то есть, выражаясь современным языком, что число $\pi$ иррационально.

См. также

• Индийская астрономия
• История математики
• История математики в Индии

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• The Kerala School, European Mathematics and Navigation, 2001.
• An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• Keralese mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• Possible transmission of Keralese mathematics to Europe, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
• "Indians predated Newton 'discovery' by 250 years" phys.org, 2007