Мадхава из Сангамаграмы

Шаблон:Учёный Ма́дхава из Сангамаграмы (Шаблон:Lang-ml, Шаблон:Lang-hi; 1350 — 1425) — средневековый индийский Шаблон:Астроном и Шаблон:Математик XIV—XV веков, основатель Керальской школы астрономии и математики. Сангамаграма, где он родился — это, как полагают историки, нынешний город Шаблон:Нп5 в штате Керала, южная Индия.

Мадхава первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды; эти исследования продолжили Нилаканта Сомаяджи и другие учёные керальской школы. Другие исследования Мадхавы относятся к алгебре, тригонометрии и геометрии.

Научная деятельность

Труды Мадхавы, за исключением двух, не сохранились, так что судить о его влиянии можно по многочисленным ссылкам и цитатам его учеников и последователей. Из-за этого, впрочем, трудно отделить результаты самого Мадхавы от достижений других керальских учёных.

Разложение тригонометрических функций

Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите).

№	Ряд	Пояснение	Когда и кем открыт в Европе
1	$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$	Ряд для синуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
2	$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$	Ряд для косинуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
3	$\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$	Ряд для арктангенса	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)
4	$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$	Ряд для числа $\pi$	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)

Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори. С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусовШаблон:Sfn. Ещё один ряд, приведённый в труде Шаблон:Нп5 со ссылкой на Мадхаву, позволяет рассчитать значение арктангенса:

$\theta =\mathrm{tg}\theta -\frac{{\mathrm{tg}}^3\theta }{3}+\frac{{\mathrm{tg}}^5\theta }{5}-\frac{{\mathrm{tg}}^7\theta }{7}+\cdots$

Значение числа π

Расчёт значения числа $\pi$ по приведённой выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке. В трактате приводится также преобразованный ряд, который сходится быстрее:

$\pi =\sqrt{12}(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 3^2}-\frac{1}{7\cdot 3^3}+\cdots )$

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение $3,14159265359$, все знаки, исключая последний, верны.

Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: $\pi =3,14159265358979324$ (верны все знаки, кроме последнего)

Математический анализ

Мадхава заложил основы математического анализа, которые получили дальнейшее развитие в Керальской школе астрономии и математики его последователями. Мадхава также улучшил некоторые результаты, обнаруженные в более ранних работах, в том числе в работах Бхаскары II. Однако он так и не смог сделать последний шаг и объединить множество различных идей анализа бесконечно малых, не показав связи между производной и интегралом, ему не удалось сформировать основы мощного аналитического инструмента решения задач, который был разработан в Европе в XVII веке.

Труды

Как уже говорилось выше, точно неизвестно, какие из дошедших до нас трудов керальских учёных принадлежат Мадхаве. Историк К. В. Сарма приводит следующий список:

1. Голавада
2. Мадхьяманаянапракара
3. Махаджьянаянапракара
4. Лагнапракарана (लग्नप्रकरण)
5. Венвароха (वेण्वारोह)
6. Спхутакандрапти (स्फुटचन्द्राप्ति)
7. Аганита-грахакара (अगणित-ग्रहचार)
8. Чандравакьяс (चन्द्रवाक्यानि)

См. также

• Индийская астрономия
• История математики
• История математики в Индии

Литература

• Шаблон:Статья
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:H Шаблон:MacTutor Biography
• Agrawal D. P. The Kerala School, European Mathematics and Navigation, 2001.Шаблон:Ref-en
• An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.Шаблон:Ref-en
• Indians predated Newton 'discovery' by 250 years, phys.org, 2007.Шаблон:Ref-en
• Pearce I. G. Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.Шаблон:Ref-en