Хронологическое упорядочение

В квантовой теории поля вводится операция хронологического произведения или хронологического упорядочения операторов. Эта операция обозначается $𝒯$ и для двух операторов $A(x)$ и $B(y)$, которые зависят от координат и времени, определяется следующим образом:

$𝒯\{A(x)B(y)\}:=\{\begin{array}{cc}A(x)B(y)& \text{if }{x}_0>y_0,\\ \pm B(y)A(x)& \text{if }{x}_0<y_0.\end{array}$

где $x_0$ и $y_0$-временные компоненты векторов $x$ и $y$.

Иначе можно записать:

$𝒯\{A(x)B(y)\}:=\theta (x_0-y_0)A(x)B(y)\pm \theta (y_0-x_0)B(y)A(x),$

где $\theta$- функция Хевисайда, а знак $\pm$ зависит от природы оператора: в бозонном случае знак всегда +, в фермионном знак зависит от чётности перестановки операторов, необходимой для правильного порядка: увеличение временного аргумента происходит справа налево.

Поскольку операторы зависят от координат, операция временного упорядочения независима от координат только в случае, если операторы в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, коммутируют.

В общем случае, для произведения n операторов поля Шаблон:Nowrap $𝒯$-упорядочение произведения операторов определяется по формуле:

$𝒯\{A_1(t_1)A_2(t_2)\cdots A_n(t_n)\}=\sum _p\theta (t_{p_1}>t_{p_2}>\cdots >t_{p_n})\epsilon (p)A_{p_1}(t_{p_1})A_{p_2}(t_{p_2})\cdots A_{p_n}(t_{p_n})$

где суммирование идёт по всем p и по симметрической группе перестановок n-го порядка. Для бозонных операторов $\epsilon (p)=1$, для фермионных $\epsilon (p)=(-1{)}^k$, где k-чётность перестановки.

Литература

• Шаблон:Книга