Теорема Слешинского — Прингсхайма

Теорема Слешинского — Прингсхайма — один из признаков сходимости обобщённых цепных дробей.

История

Теорема была доказана в конце 19-го века независимо Иваном Слешинским и Альфредом Прингсхаймом.

Формулировка

Предположим, $a_n$ и $b_n$ — последовательности вещественных чисел такие, что $|b_n|⩾|a_n|+1$ для любого $n$. Тогда цепная дробь

$\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2+\frac{a_3}{b_3+\ddots }}}$

сходится абсолютно к некоторому вещественному числу в интервале $[0,1]$.