Квадратичная задача о назначениях

Квадрати́чная зада́ча о назначе́ниях (КЗН, Шаблон:Lang-en, QAP) — одна из фундаментальных задач комбинаторной оптимизации в области оптимизации или исследования операций, принадлежащая категории задач размещения объектов.

Задача моделирует следующую задачу из реальной жизни:

Есть множество n предприятий, которые могут быть расположены в n местах. Для каждой пары мест задано расстояние и для каждой пары производств задан вес или поток (т. e. количество материала (сырья или продукции), перевозимого между двумя производствами). Требуется расставить производства по местам (два производства нельзя размещать в одном месте) таким образом, что сумма расстояний, умноженных на соответствующие потоки, будет минимальной.

Интуитивно понятно, что предприятия с большим потоком следует размещать ближе друг к другу.

Формулировка задачи похожа на формулировку задачи о назначениях, различаются они целевой функцией — в квадратичной задаче она квадратична, что и отражает название.

Формальное математическое определение

Формальное определение квадратичной задачи о назначениях следующее:

Заданы два множества, P («производства») и L («точки размещения») равных размеров вместе с весовой функцией w : P × P → R и функцией расстояний d : L × L → R. Требуется найти биекцию f : P → L («назначение»), такую, что значение целевой функции:

$\sum _{a,b\in P}w(a,b)\cdot d(f(a),f(b))$

будет минимально.

Обычно веса и расстояния рассматриваются как квадратные вещественные матрицы, так что целевую функцию можно выписать следующим образом:

$\sum _{a,b\in P}{w}_{a,b}{d}_{f(a),f(b)}$

В матричной форме:

$\underset{X\in {\mathrm{\Pi }}_n}{\min }\mathrm{trace}(WXD{X}^T)$, где ${\mathrm{\Pi }}_n$ — матрицы перестановок, W — матрица весов, а D — матрица расстояний.

Вычислительная сложность

Задача является NP-трудной, так что не существует алгоритма, решающего задачу за полиномиальное время, и даже маленькие задачи могут потребовать большого времени вычисления. Также было доказано, что задача не имеет аппроксимирующего алгоритма, работающего за полиномиальное время для любого (постоянного) множителя, если только не P = NP Шаблон:Sfn. Задачу коммивояжёра можно рассматривать как специальный случай КЗН, если требовать, чтобы потоки связывали все производства в одном цикле с одним и тем же ненулевым значением потока. Многие другие стандартные задачи комбинаторной оптимизации могут быть записаны в этой форме.

Приложения

Кроме изначальной формулировки размещения производства, КЗН является математической моделью задач размещения связанных электронных компонентов на печатных платах или интегральных схемах. Модель служит частью процесса Шаблон:Не переведено 5 систем автоматизированного проектирования в электронной индустрии.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:H Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга — P. 218.

Ссылки

• http://www.seas.upenn.edu/qaplib/ Шаблон:Wayback QAPLIB — A Quadratic Assignment Problem Library
• http://issuu.com/spconguy/docs/ant-algorithm-applied-to-the-quadratic-assignment- Шаблон:Wayback — A QAP sample application
• Links to Quadratic Assignment Problem Solvers Шаблон:Wayback