Узлы Чебышёва

В математике под узлами Чебышёва понимают корни многочлена Чебышёва первого рода. Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге.

Определение

Геометрическое построение

Для натурального числа n узлы Чебышёва на отрезке [−1, 1] задаются формулой

$x_k=\cos \left(\frac{2k-1}{2n}\pi \right),k=1,\dots ,n.$

Это корни многочлена Чебышёва первого рода степени n. Для получения узлов на произвольном отрезке [a, b] можно применить аффинное преобразование отрезков:

$x_k=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a)\cos \left(\frac{2k-1}{2n}\pi \right),k=1,\dots ,n.$