Поверхность Больцы

Поверхность Больцы (кривая Больцы) — компактная риманова поверхность рода 2 с максимальным возможным порядком конформной группы автоморфизмов для этого порядка, а именно, с группой GL₂(3) порядка 48. Полная группа автоморфизмов (включая отражения) является полупрямым произведением $G{L}_2(3)⋊{\mathbb{Z}}_2$ порядка 96. Аффинная модель поверхности Больцы может быть получена как геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению

$y^2=x^5-x$

в ${ℂ}^2$. Поверхность Больцы является Шаблон:Не переведено 5 аффинной кривой. Из всех гиперболических поверхностей рода 2, поверхность Больцы имеет наивысшую систолу. Как Шаблон:Не переведено 5 риманова поверхность она возникает как разветвлённое двойное покрытие римановой сферы с точками разветвления в шести вершинах правильного Шаблон:Не переведено 5, вписанного в сферу, как можно ясно видеть из приведённой формулы.

Треугольная поверхность

Замощение поверхности Больцы отражениями области является фактором Шаблон:Не переведено 5.

Поверхность Больцы является (2,3,8)-треугольной поверхностью (треугольник Шварца): фуксова группа, определяющая поверхность Больцы, является подгруппой группы, образованной отражениями относительно сторон гиперболического треугольника с углами $\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{8}$. Эта подгруппа является подгруппой с индексом группы отражений, которая состоит из произведения чётного числа отражений, и которая имеет абстрактное представление в терминах генераторов $s_2,s_3,s_8$ и отношений $s_2{}^2=s_3{}^3=s_8{}^8=1$, а также $s_2{s}_3=s_8$. Фуксова группа $\mathrm{\Gamma }$, определяющая поверхность Больцы, является также подгруппой (3,3,4) группы треугольника, которая является подгруппой с индексом 2 группы треугольника (2,3,8). Группа (2,3,8) не имеет реализации в терминах алгебры кватернионов, но группа (3,3,4) — имеет.

Под действием $\mathrm{\Gamma }$ на диск Пуанкаре фундаментальной областью поверхности Больцы является правильный восьмиугольник с углами $\frac{\pi }{4}$ в точках

$p_k=2^{-\frac{1}{4}}{e}^{i(\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4})}$,

где $k=0,\dots ,7$. Противоположные стороны восьмиугольника отождествляются под действием фуксовой группы. Генераторами служат матрицы:

$g_k=\left(\begin{array}{cc}1+\sqrt{2}& (2+\sqrt{2})\alpha e^{i\frac{k\pi }{4}}\\ (2+\sqrt{2})\alpha e^{-i\frac{k\pi }{4}}& 1+\sqrt{2}\end{array}\right)$,

где $\alpha =\sqrt{\sqrt{2}-1}$ и $k=0,\dots ,3$, вместе с их обратными. Генераторы удовлетворяют соотношению:

$g_0{g}_1^{-1}{g}_2{g}_3^{-1}{g}_0^{-1}{g}_1{g}_2^{-1}{g}_3=1.$

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Поверхность Макбита

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга