Теорема Ельмслева о серединах

Зелёные точки являются серединами соответствующих красных точек.

Теорема Ельмслева о серединах — классическая теорема абсолютной геометрии. Названа в честь Шаблон:Iw. Часто приводится как иллюстрация к теореме Шаля.

Формулировка

Если точки $A,B,C,\dots$ на прямой переводятся движением в точки $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },\dots$, то середины отрезков $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },\dots$ лежат на одной прямой.

О доказательстве

Можно считать, что отображение $m:A\mapsto A^{\prime }$ меняет ориентацию; если нет то возьмём его композицию с осевой симметрией во второй прямой. Тогда, по теореме Шаля $m$ является скользящей симметрией. Отсюда немедленно следует, что все середины лежат на оси скользящей симметрии.

Ссылки

• Шаблон:Citation.