Термоэлектрический эффект в графене

Шаблон:Main Термоэлектрический эффект в графене представляет собой преобразование потока тепла (градиента температуры) в электричество (ток в замкнутой цепи или напряжение при разомкнутой электрической цепи) в графене. В этом случае говорят о генерации энергии (эффект Зеебека) или термогенерации, но существует и обратный эффект (эффект Пельтье), когда ток вызывает охлаждение материала и говорят о термоохлаждении. Впервые эффект Зеебека наблюдался в работах.

Общие положения

Шаблон:Физическая теория Теоретически как и всякий тепловая машина её эффективность ограничиваться эффективностью цикла Карно, но на практике потери приводят к выражениюШаблон:Sfn

$\eta =(1-\frac{T_c}{T_h})\frac{\sqrt{1+zT}-1}{\sqrt{1+zT}+T_c/T_h}$,

где T_c и T_h — холодная и горячая температуры создающие градиент, zT — безразмерный параметр характеризующий преобразование тепла в электричество для конкретного материала. Этот параметр представляется в видеШаблон:Sfn

$zT=\frac{\sigma S^{2}T}{\kappa }$,

где σ=neμ — проводимость графена, n — концентрация носителей тока (электронов или дырок), e — элементарный заряд, μ — подвижность носителей тока, S — коэффициент Зеебека, T — температура, κ — теплопроводность графена. Для графена теплопроводность складывается из двух вкладов: электронной (κ_e) и фононной частей (κ_p). Для повышения эффективности преобразования тепла в электричество в графене нужно увеличить коэффициент Зеебека, проводимость, температуру, но уменьшать теплопроводность. Но эти величины оказываются связаны некоторыми соотношениями, например согласно закону Видемана — Франца проводимость пропорциональна и электронной теплопроводности, а формула Мотта гласит, что при увеличении проводимости уменьшается коэффициент Зеебека. Так как графен амбиполярный материал, то одновременное присутствие уменьшению и дырок приводит к уменьшению коэффициента Зеебека, поэтому для эффективной работы теплопреобразователей нужно иметь конечную концентрацию носителей тока и, задача сводится к попыткам увеличить произведение двух параметров σS², поскольку уменьшение теплопроводимости обычно достигается внесением дефектов, что в свою очередь уменьшает проводимость.

Коэффициент Зеебека

Формула Мотта для коэффициента Зеебека в графене (вырожденный газ) равнаШаблон:Sfn

$S=-\frac{k_B}{\sigma e}\int \sigma (E)\frac{E-E_F}{k_{B}T}\frac{\partial f(E)}{\partial E}=-\frac{{\pi }^2{k}_B}{3e}{k}_{B}T{\left[\frac{d\ln ({\sigma }_E)}{dE}\right]}_{E=E_F}$,

где E — энергия, E_F — энергия Ферми, k_B — постоянная Больцмана, f(E) — функция Ферми — Дирака. Здесь важно заметить, что увеличение коэффициента Зеебека можно добиться увеличением плотности состояний, как например в системах с меньшей размерности: графеновых нанолентах или квантовых точек из графена.

Теплопроводность

Теплопроводность графена имеет два вклада: электронныйШаблон:Sfn

${\kappa }_e=L\sigma T$,

где L — число Лоренца, и фононный

${\kappa }_p=\frac{1}{2}{c}_v{v}_s{\lambda }_{ph}$,

где c_v — удельная теплоёмкость, v_s — скорость звука, λ_ph — длина свободного пробега фононов. Из-за рекордной теплопроводности в графене главный параметр отвечающий за эффективность преобразования тепла в электричество zT оказывается очень мал (~0.01), поэтому много исследований направлено на попытки уменьшить теплопроводность графена. Например этого можно добиться используя изотоп углерода, созданием различных дефектов.

Теория термоэлектрического эффекта в графене

Плотность тока носителей заряда j и плотность потока тепла j_Q связаны с электрическим полем E (которое также имеет смысл градиента потенциала с отрицательным знаком $E=-\mathrm{\nabla }V$) и градиентом температуры $\mathrm{\nabla }T$ в линейном приближении

$\left(\begin{array}{c}j\\ j_Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}^{11}& L^{12}\\ L^{21}& L^{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}E\\ -\mathrm{\nabla }T\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}^{(0)}& -I^{(1)}/eT\\ -I^{(1)}/e& I^{(2)}/e^{2}T\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}E\\ -\mathrm{\nabla }T\end{array}\right),$

где интеграл I^(a) в приближении времени релаксации запишется в виде (μ — химический потенциал):

$I^{(a)}=\int d\epsilon (\epsilon -\mu {)}^a(-\frac{\partial f^0(\epsilon )}{\partial \epsilon })\sigma (\epsilon )$.

Здесь проводимость σ запишется через время релаксации τ, которое зависит от энергии:

$\sigma (\epsilon )=\frac{e^2}{\pi \hslash }\frac{|\epsilon |\tau (\epsilon )}{\hslash }$.

Коэффициент Зеебека определяется при отсутствии тока как отношение матричных коэффициентов S=L¹²/L¹¹ и, при условии вырождения (энергия Ферми много больше температуры), превращается в приведённую выше формулу Мотта. Знание зависимости времени релаксации от энергии позволяет использовать формулу Мотта для определения доминирующего механизма рассеяния в графене, например различить рассеяние на фононах и на ионизированных примесях. Экспериментальные результаты полученные при низких температурах согласуются с предположением о вкладе экранированных примесей в графене в рассеяние носителей тока, причём неэкранированные примеси приводят к линейной зависимости коэффициента Зеебека от температуры

$S=-\frac{2{\pi }^2}{3e}\frac{k_B^{2}T}{E_F}\propto \frac{1}{\sqrt{n}}$,

а экранированный потенциал — к квадратичной зависимости. Вклад нейтральных рассеивателей и фононов сильно (экспоненциально) подавлен при низких температурах и высоких концентрациях носителей тока. Вклад других рассеивателей, которые дают линейную зависимость проводимости от концентрации, такие как резонансные рассеиватели и состояния в центре зоны, приводят к другой функциональной температурной зависимостиШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья