FRACTRAN

FRACTRAN — полный по Тьюрингу эзотерический язык программирования, предложенный Джоном Конвеем.

Описание

Программа на FRACTRAN записывается как упорядоченный список положительных дробей вместе с начальным положительным целочисленным входом n. Программа запускается путём обновления целого числа n следующим образом:

1. для первой дроби $f$ в списке, для которой произведение $n\cdot f$ является целым числом, замените $n$ на $n\cdot f$
2. повторяйте это правило до тех пор, пока ни одна дробь в списке не выдаст целое число при умножении на $n$, затем остановите.

Например следующая программа генерирует простые числа:

$(\frac{17}{91},\frac{78}{85},\frac{19}{51},\frac{23}{38},\frac{29}{33},\frac{77}{29},\frac{95}{23},\frac{77}{19},\frac{1}{17},\frac{11}{13},\frac{13}{11},\frac{15}{2},\frac{1}{7},\frac{55}{1})$

Начиная с n = 2, эта программа генерирует следующую последовательность целых чисел:

2, 15, 825, 725, 1925, 2275, 425, 390, 330, 290, 770, ... Шаблон:OEIS

После 2 эта последовательность содержит следующие степени 2:

$2^2=4,2^3=8,2^5=32,2^7=128,2^{11}=2048,2^{13}=8192,2^{17}=131072,2^{19}=524288,\dots$ Шаблон:OEIS

которые являются простыми степенями 2.

Понимание программы FRACTRAN

Программа FRACTRAN может рассматриваться как тип машины Минского, где регистры хранятся в простых показателях в аргументе n.

Используя нумерацию Гёделя, положительное целое число n может кодировать произвольное число произвольно больших положительных целочисленных переменных. Значение каждой переменной кодируется как показатель простого числа в простой факторизации целого числа. Например, целое число

$60=2^2\times 3^1\times 5^1$

представляет состояние регистра, в котором одна переменная (которую мы будем называть $v_2$) содержит значение 2, а две другие переменные ($v_3$ и $v_5$) содержат значение 1. Все остальные переменные содержат значение 0.

Программа FRACTRAN — это упорядоченный список положительных дробей. Каждая дробь представляет собой инструкцию, которая проверяет одну или несколько переменных, представленных основными факторами её знаменателя. Например:

$f_1=\frac{21}{20}=\frac{3\times 7}{2^2\times 5^1}$

проверяет две переменные $v_2$ и $v_5$. Если $v_2\ge 2$ и $v_5\ge 1$, то выполняются присвоения $v_2:=v_2-2$, $v_5:=v_5-1$, $v_3:=v_3+1$, $v_7:=v_7+1$. Например:

$60\cdot f_1=2^2\times 3^1\times 5^1\cdot \frac{3\times 7}{2^2\times 5^1}=3^2\times 7^1$

Поскольку программа FRACTRAN представляет собой просто список дробей, эти инструкции проверка-присвоение являются единственными допустимыми инструкциями на языке FRACTRAN. Кроме того, применяются следующие ограничения:

• Каждый раз, когда выполняется инструкция, проверяемые переменные также уменьшаются.
• Одна и та же переменная не может быть одновременно уменьшена и увеличена в одной инструкции (в противном случае дробь, представляющая эту инструкцию, не будет несократимой).
• Инструкция FRACTRAN неспособна непосредственно проверить, равна ли переменная 0. Однако есть непрямой способ это сделать путём создания инструкции, которая помещается после других инструкций, которые проверяют конкретную переменную.

Ссылки

• "Prime Number Pathology: Fractran"
• Weisstein, Eric W. "FRACTRAN". MathWorld.
• Prime Number Pathology
• FRACTRAN
• Ruby implementation and example programs
• Project Euler Problem 308
• "Building Fizzbuzz in Fractran from the Bottom Up"
• Chris Lomont, "A Universal FRACTRAN Interpreter in FRACTRAN"
• John Conway Шаблон:YouTube