Выпучивание

Выпучивание — потеря устойчивости конструкции при приложении внешней нагрузки, сопровождаемая изменением формы.

Задача Эйлера

Пусть для тонкой балки с постоянным поперечным сечением (S), опора которой имеет шарнирное неподвижное закрепление, а на второй конец закреплённый на подвижном шарнире, действует сила (P) направленная вдоль оси. Тогда при малой силе, напряжение в балке определяется выражением $\sigma =P/S.$ При увеличении силы после достижения критического значения происходит выпучивание, и балка приобретает кривизнуШаблон:Sfn

$\kappa =\pm \frac{M}{EI},$

где M — изгибающий момент, I — минимальный момент инерции сечения балки, E — модуль Юнга. Для пологой кривой кривизна запишется через прогиб $v$ в видеШаблон:Sfn

$\kappa =\mp \frac{d^{2}v}{d{x}^2},$

где изгибающий момент равен $M=\pm Pv.$ Тогда

$EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=-Pv.$

Это дифференциальное уравнение второго порядка решается для граничных условий закрёплённых концов или v(0)=v(l)=0, где l — длина балки. Что приводит к синусоидальной форме балки и значению для критической силыШаблон:Sfn

$P_c=\frac{{\pi }^{2}EI}{l^2},$

которая называется формулой Эйлера.

Литература

• Шаблон:Книга