Квантовая плоскость

Определение

Пусть $q$ — обратимый элемент поля $𝕂$, $I_q$ — двусторонний идеал свободной алгебры $𝕂\{x,y\}$, порождённый элементом $yx-qxy$.

Квантовой плоскостью называется фактор-алгебра ${𝕂}_q[x,y]=𝕂\{x,y\}/I_q$.

Пусть $R$ — алгебра над полем $𝕂$. Тогда пара $(X,Y)$ элементов из $R$, удовлетворяющая соотношению $YX=qXY$ называется R-точкой квантовой плоскости. Имеет место естественная биекция

$Ho{m}_{Alg}({𝕂}_q[x,y],R)\cong \{(X,Y)\in R\times R:YX=qX\}$.

Свойства

1. Пусть $\alpha$ — автоморфизм алгебры многочленов $𝕂[x]$, т.ч. $\alpha (x)=qx$. Тогда алгебра ${𝕂}_q[x,y]$ изоморфна расширению Оре $𝕂[x][y,\alpha ,0]$.
2. Пусть $x$ и $y$ — переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости $yx=qxy$. Для $n\in \mathbb{N}$ положим $(n{)}_q=1+q+...+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$. Определим q-факториал числа $n$, полагая $(0){!}_q=1,(n!{)}_q=(q{)}_1(2{)}_q...(n{)}_q=\frac{(q-1)(q^2-1)...(q^n-1)}{(q-1{)}^n}$. Определим многочлен Гаусса для $0\le k\le n$ по формуле ${\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}_q=\frac{(n){!}_q}{(k!{)}_q(n-k){!}_q}$. Тогда выполняется равенство:$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n{\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}_q{x}^k{y}^{n-k}$.

Примеры

1. Пусть $M(2)$ — алгебра матриц $2\times 2$, $x$ и $y$ — переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости $yx=qxy$, $a,b,c,d$ — переменные, коммутирующие с $x$ и $y$. Определим $x^{\prime },y^{\prime },x^{″},y^{″}$матричными соотношениями: $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{ и }\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Тогда можно показать эквивалентность между двумя соотношениями квантовой плоскости $y^{\prime }{x}^{\prime }=q{x}^{\prime }{y}^{\prime }\text{ и }{y}^{″}{x}^{″}=q{x}^{″}{y}^{″}$и шестью соотношениями $ba=qab,ca=qac,bc=cb,$$db=qbd,dc=qcd,ad-da=(q^{-1}-q)bc$. Определим алгебру $M_q(2)$ как фактор-алгебру свободной алгебры $𝕂\{a,b,c,d\}$по двустороннему идеалу $J_q$, порождённому шестью соотношениями выше. Построенная алгебра $M_q(2)$ является q-аналогом алгебры $M(2)$.

Литература

• Кассель К. «Квантовые группы».

Шаблон:Изолированная статья