Расширение Оре

Расширение Оре — особый тип расширения кольца, свойства которого относительно хорошо изучены. Названо в честь Ойстина Оре.

Определение

Пусть $R$ — алгебра без делителей нуля, $R[t]$ — свободный (левый) R-модуль, состоящий из всех многочленов вида $P=a_n{t}^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+...+a_0{t}_0$, где $a_i\in R$, степени $deg(P)=n$, $\alpha$ — мономорфизм из $R$ в себя и $\delta$ — некоторое $\alpha$-дифференцирование на $R$. Существует единственная структура алгебры на $R[t]$, т.ч. естественное включение $R\to R[t]$ является гомоморфизмом и выполняется соотношение $ta=\alpha (a)t+\delta (a)$ для всех $a\in R$.

Определённая таким образом алгебра называется расширением Оре, ассоциированным с тройкой $(R,\alpha ,\delta )$, и обозначается $R[t,\alpha ,\delta ]$.

Конструкция

Пусть $M$ — алгебра, состоящая из всех бесконечных матриц $(f_{ij}{)}_{i,j\ge 1}$с элементами в алгебре $End(R)$, т.ч. в каждом столбце и в каждой строке этих матриц лишь конечное число элементов отличны от нуля. Единицей в $M$ является диагональная матрица $I$ с тождественными операторами на диагонали. Пусть $\hat{a}\in End(R)$ — оператор левого умножения на $a$. Тогда на $\alpha$ и $\delta$ наложены следующие условия:

$\alpha \hat{a}=\widehat{\alpha (a)}\alpha \text{ и }\delta \hat{a}=\widehat{\alpha (a)}\delta +\widehat{\delta (a)}$. Рассмотрим бесконечную матрицу

$T=\left(\begin{array}{ccccc}\delta & 0& 0& 0& ...\\ \alpha & \delta & 0& 0& ...\\ 0& \alpha & \delta & 0& ...\\ 0& 0& \alpha & \delta & ...\\ ...& ...& ...& ...& ...\end{array}\right)$.

Она позволяет определить инъективное линейное отображение $\mathrm{\Phi }:R[t]\to M$ по формуле $\mathrm{\Phi }\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{t}^i\right)=\sum _{i=0}^n({\hat{a}}_{i}I)T^i$. Пусть $S$ — подалгебра в $M$, порождённая элементами $T$ и $\hat{a}I$ ($a\in R$). Она является образом $R[t]$ при отображении $\mathrm{\Phi }$. Поскольку $\mathrm{\Phi }$ является мономорфизмом, то оно индуцирует линейный изоморфизм между $R[t]$ и $S$, позволяющий индуцировать структуру алгебры $S$ на $R[t]$.

Литература

• Шаблон:Книга