Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки

Шаблон:Перенести Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки — одна из основных задач механики твёрдого тела.

Основные обозначения и уравнения движения

Общий случай

Рассмотрим вращение твёрдого тела $ℬ$ вокруг неподвижной точки $O$. Пусть $O{X}_{\alpha }{X}_{\beta }{X}_{\gamma }$ — абсолютная система отсчёта, оснащённая единичными векторами базиса ${𝐞}_{\alpha }$, ${𝐞}_{\beta }$,${𝐞}_{\gamma }$, а $O{x}_1{x}_2{x}_3$ — подвижная система отсчёта, жёстко связанная с телом. Будем считать, что проекции векторов базиса ${𝐞}_{\alpha }$, ${𝐞}_{\beta }$, ${𝐞}_{\gamma }$ на оси подвижной системы отсчёта имеют вид $\mathit{\alpha }=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$, $\mathit{\beta }=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$, $\mathit{\gamma }=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)$, а вектор угловой скорости в проекциях на подвижные оси записывается как $\mathit{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$. Если $𝐈$ — тензор инерции тела, также заданный в подвижных осях, $𝐐=𝐐(t,\mathit{\omega },\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma })$ — действующий на тело момент сил, то уравнения движения тела в этих осях имеют вид

$\frac{d}{dt}𝐈\mathit{\omega }=𝐈\mathit{\omega }\times \omega +𝐐$.

Эти уравнения, задающие закон изменения момента количеств движения. называют уравнениями Эйлера. Кроме того, для описания движения выписывают уравнения Пуассона

$\frac{d}{dt}\mathit{\alpha }=\mathit{\alpha }\times \omega$, $\frac{d}{dt}\mathit{\beta }=\mathit{\beta }\times \omega$, $\frac{d}{dt}\mathit{\gamma }=\mathit{\gamma }\times \omega$,

описывающие изменение в подвижных осях единичных векторов неподвижной системы отсчёта.

Уравнения Эйлера и уравнения Пуассона составляют замкнутую систему уравнений движения.

Случай потенциальных сил

В случае, когда внешние силы, действующие на тело, потенциальны с потенциалом $U=U(t,\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma })$, момент сил, действующих на тело, имеет вид

$𝐐(t,\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma })=\mathit{\alpha }\times \frac{\partial U}{\partial \mathit{\alpha }}+\mathit{\beta }\times \frac{\partial U}{\partial \mathit{\beta }}+\mathit{\gamma }\times \frac{\partial U}{\partial \mathit{\gamma }}$.

Законы сохранения

Интеграл площадей

Пусть $𝐞$ — фиксированный в абсолютном пространстве единичный вектор. Если силы, приложенные к телу таковы, что

$(𝐐,𝐞)\equiv 0$,

то сохраняется величина

${𝒥}_{𝐞}=(𝐈\mathit{\omega },𝐞)=p_{𝐞}\equiv 0$,

представляющая собой проекцию вектора момента количеств движения на направление, задаваемое вектором $𝐞$. Эту величину называют интегралом площадей.

Геометрические интегралы

Уравнения Пуассона всегда допускают шесть квадратичных интегралов

$(\mathit{\alpha },\mathit{\alpha })=(\mathit{\beta },\mathit{\beta })=(\mathit{\gamma },\mathit{\gamma })=1$,

$(\mathit{\alpha },\mathit{\beta })=(\mathit{\beta },\mathit{\gamma })=(\mathit{\gamma },\mathit{\alpha })=0$,

выражающих ортонормированность базиса абсолютной системы отсчёта. Эти интегралы называют геометрическими.

Интеграл энергии

Также в случае, когда силы, действующие на тело, потенциальны, и потенциал не зависит явно от времени: $U=U(\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma })$, уравнения движения допускают интеграл энергии

${𝒥}_0=\frac{1}{2}(𝐈\mathit{\omega },\mathit{\omega })+U(\mathit{\alpha },\mathit{\beta },\mathit{\gamma })=h$

Случаи интегрируемости

Случай Эйлера

Если $Q\equiv 0$, то уравнения Эйлера отделяются от уравнений Пуассона и оказываются вполне интегрируемыми: они обладают интегралом энергии

${𝒥}_0=\frac{1}{2}(𝐈\mathit{\omega },\mathit{\omega })=h$

и интегралом

${𝒥}_1=\frac{1}{2}(𝐈\mathit{\omega },𝐈\mathit{\omega })=k^2$

выражающим сохранение величины вектора момента количеств движения.

Впрочем, в этом случае интегрируемости, известном как случай Эйлера, сохраняется не только величина вектора момента количеств движения — сам вектор остаётся неизменным относительно абсолютной системы отсчёта.

Литература

• А. В. Борисов, И. С. Мамаев Динамика твердого тела. Москва — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 378 с.