Свободная группа

Граф Кэли свободной группы с базисом $\{a,b\}$.

Свобо́дная гру́ппа в теории групп — группа, для которой существует такое её подмножество, называемое базисом, что каждый элемент группы может быть единственным образом записан в виде несократимого слова в элементах базиса и их обратных. Является центральным понятием комбинаторной теории групп.

Любые две группы, обладающие равномощными базисами, изоморфны. Мощность базиса свободной группы называется её рангом. В частности, для каждого $n\in \mathbb{N}$ определена свободная группа ранга $n$, которая обозначается $F_n$. Например, группа $F_1$ изоморфна бесконечной циклической группе.

Абелианизация любой свободной группы изоморфна свободной абелевой группе того же ранга.

Конструктивное определение

Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование. Будем считать элементы множества $S$ «символами» и для каждого символа $s$ из $S$ введём символ $s^{-1}$; множество последних обозначим $S^{-1}$. Пусть

$T=S\cup S^{-1}$.

Определим слово над $S$ как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из $T$, записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над $S$ становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово $\epsilon$, которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над $S.$

Например, для $S=\{a,b,c\}$. $T=\{a,a^{-1},b,b^{-1},c,c^{-1}\}$, два слова:

$\alpha =ab{c}^{-1}a,\beta =b^{-1}b{a}^{-1}$,

и их конкатенация:

$\gamma =\alpha \beta =ab{c}^{-1}a{b}^{-1}b{a}^{-1}$.

Например, $\alpha \epsilon =\alpha =ab{c}^{-1}a$.

Далее вводится правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из $S$ следует (предшествует) соответствующий ему символ из $S^{-1},$ то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова $\gamma$ (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово: $ab{c}^{-1}.$ Это определение является корректным: легко показать, что разный порядок выполнения нескольких редукций до тех пор, пока они возможны, приводит к единственному результату.

Свободной группой $F_S$, порождённой множеством $S$ (или свободной группой над $S$) называется группа редуцированных слов над $S$ с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Свойства

• Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
• Свободная группа $F_n$ изоморфна свободному произведению $n$ копий $\mathbb{Z}$.
• Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
• Любая группа $G$ есть факторгруппа некоторой свободной группы $F_S$ по некоторой её подгруппе H. За $S$ могут быть взяты образующие $G$. Тогда существует естественный эпиморфизм $f:F_S\to G$. Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания $G=⟨S,H⟩$.
• Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы $F(a,b)$ — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами $[a^n,b^m],m,n\ne 0$.

Универсальное свойство

Свободная группа $F_S$ — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством $S.$ А именно, для любой группы $G$ и любого отображения множеств $f:S\to G$ существует единственный гомоморфизм групп $\phi :F_S\to G,$ для которого следующая диаграмма коммутативна:

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений $S\to G$ и гомоморфизмов $F_S\to G$. Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Это свойство можно принять за определение свободной группы, при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество $S$ называется базисом группы $F_s$. Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий свободная группа — это функтор из категории множеств $𝐒𝐞𝐭$ в категорию групп $𝐆𝐫𝐩$, являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора $𝐆𝐫𝐩\to 𝐒𝐞𝐭$.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра