Вычитание векторов

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов c = a — b

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычитание векторов (Шаблон:Lang-en), — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммыШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. При этом разность $𝐚-𝐛$ двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ — это третий вектор $𝐜=𝐚-𝐛$ такой, что $𝐜+𝐛=𝐚$ (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Разность векторов определяется через сумму векторов либо с использованием противоположного вектора, либо безШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемымШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определение

Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. Обозначается обычным знаком минусШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐜=𝐚-𝐛.$

Определение без использования противоположного вектора

Параллелограмм сложения и вычитания векторов

Следующее определение разности аналогично определению разности чиселШаблон:Sfn.

Разность $𝐚-𝐛$ двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ — это третий вектор $𝐜=𝐚-𝐛$ такой, что $𝐜+𝐛=𝐚$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Разность существует для любых двух векторов, что следует из следующего правила её построенияШаблон:Sfn.

Правило построения разности векторов без обратного вектора состоит в следующем. Разность $𝐚-𝐛$ любых двух векторов $𝐚$ и $𝐛$, отложенных от одной точки, — это третий вектор $𝐜=𝐚-𝐛$, проведённый от конца вектора $𝐛$ к концу вектора $𝐚$ (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Операция вычитания векторов обладает следующими определяющими свойствамиШаблон:Sfn:

• всегда выполнима;
• однозначна, то есть из $𝐛+𝐱=𝐛+𝐲$ следует $𝐱=𝐲.$

Если на двух неколлинеарных векторах построить параллелограмм, то тогда одна диагональ этого параллелограмма будет представлять сумму этих двух векторов. а другая — их разность (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов)Шаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Противоположный вектор

Вектор, противоположный данному вектору — вектор, равный по модулю данному и противоположно ему направленный. Вектор, противоположный нулевому вектору, определяется тоже как нулевой. Вектор, противоположный вектору $𝐚$, обозначается той же буквой с поставленным перед ней обычным знаком минус (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn: $-𝐚.$

Также противоположный вектор можно определить как вектор $\mathrm{𝟎}-𝐚$Шаблон:Sfn.

Треугольник вычитания произвольных векторов: разность векторов есть сумма векторов
c = a + (−b)

Из определения противоположного вектора следуют равенстваШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$-(-𝐚)=𝐚,|-𝐚|=|𝐚|,𝐚+(-𝐚)=\mathrm{𝟎}.$

Определение с использованием противоположного вектора

Теорема 1.

$𝐚-𝐛=𝐚+(-𝐛)$

для любых векторов $𝐚$ и $𝐛$ (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Доказательство. Из определения разности векторов получаемШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$(𝐚-𝐛)+𝐛=𝐚,$$(𝐚-𝐛)+\mathrm{𝟎}=𝐚+(-𝐛),$$(𝐚-𝐛)=𝐚+(-𝐛).$

На основании этой теоремы можно определить понятие разности следующим образомШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Разность $𝐚-𝐛$ двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ — это третий вектор $𝐜=𝐚+(-𝐛)$ (см. рисунки справа)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Правило построения разности векторов с использованием обратного вектора состоит в следующем. Разность $𝐚-𝐛$ любых двух векторов $𝐚$ и $𝐛$ — это третий вектор $𝐜=𝐚+(-𝐛)$, проведённый от начала вектора $𝐚$ к концу вектора $-𝐛$, причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунки справа)Шаблон:Sfn.

Параллелограмм вычитания произвольных векторов: разность векторов строится как при помощи противоположного вектора, так и без

Если взять за исходное второе определение разности векторов, то первое определение можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 2. Вычитание векторов — операция, обратная сложению векторов, то есть по сумме векторов и одному из слагаемых находится второе слагаемое — разность суммы и первого слагаемого:

$𝐛+(𝐚-𝐛)=𝐚$

для любых векторов $𝐚$ и $𝐛$ (см. рисунок в начале статьи и рисунок справа)Шаблон:Sfn.

Доказательство. ВычислимШаблон:Sfn:

$𝐛+(𝐚-𝐛)=𝐚+(-𝐛)+𝐛=𝐚+\mathrm{𝟎}=𝐚.$

Теорема 3. Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знакомШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Доказательство. Пусть

$𝐚-𝐛=𝐜.$

Тогда по теореме 2 получаемШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$𝐚=𝐛+𝐜.$

Итак, операции сложения и вычитания векторов имеют такие же свойства, какие известны в арифметике чиселШаблон:Sfn.

Правило раскрытия скобок

Теорема 4. Правило раскрытия скобокШаблон:Sfn.

$({𝐚}_1-{𝐛}_1)+({𝐚}_2-{𝐛}_2)+\cdots +({𝐚}_n-{𝐛}_n)=$

$=({𝐚}_1+{𝐚}_2+\cdots +{𝐚}_n)-({𝐛}_1+{𝐛}_2+\cdots +{𝐛}_n).$

Модуль разности

Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются неравенство треугольника: модуль разности двух векторов не больше разности модулей этих векторовШаблон:Sfn:

$|𝐚-𝐛|⩾|𝐚|-|𝐛|,|𝐚-𝐛|⩾|𝐛|-|𝐚|.$

В случае коллинеарных векторовШаблон:Sfn:

• если два вектора направлены одинаково, то модуль разности двух векторов равен разности модулей уменьшаемого и вычитаемого, если модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого:

$|𝐚-𝐛|=|𝐚|-|𝐛|,|𝐚|⩾|𝐛|;$

$|𝐚-𝐛|=|𝐛|-|𝐚|,|𝐛|⩾|𝐚|.$

Для модуля разности векторов возможны три случая (см. рисунок ниже)Шаблон:Sfn:

• $|𝐚-𝐛|<|𝐚|;$
• $|𝐚-𝐛|=|𝐚|;$
• $|𝐚-𝐛|>|𝐚|.$

Три случая величины модуля разности векторов: слева Шаблон:S, в центре Шаблон:S, справа Шаблон:S,

Имеет место следующее тождество:

$2|𝐚{|}^2+2|𝐛{|}^2=|𝐚+𝐛{|}^2+|𝐚-𝐛{|}^2$,

другими словами, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рисунок с параллелограммом сложения и вычитания векторов в разделе Определение без использования противоположного вектора)Шаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H