Основная теорема римановой геометрии

Шаблон:Эта статья Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) имеется единственная метрическая связность без кручения, называемая связностью Леви-Чивиты данной метрики. Здесь метрическая (или риманова) связность — это связность, сохраняющая метрический тензор.

Формулировка

Основная теорема римановой геометрии. Пусть (M, g) — риманово многообразие (или псевдориманово многообразие). Тогда существует единственная аффинная связность ∇, удовлетворяющая следующим условиям:

• для любых векторных полей X, Y, Z выполняется

${\partial }_X⟨Y,Z⟩=⟨{\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z⟩+⟨Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z⟩,$

где ${\partial }_X⟨Y,Z⟩$ означает производную функции $⟨Y,Z⟩$ вдоль векторного поля X.

• для любых векторных полей X, Y

${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y],$

где [ X, Y ] означает скобку Ли векторных полей X, Y.

Первое условие означает, что метрический тензор сохраняется при параллельном переносе, а второе условие выражает тот факт, что кручение связности равно нулю.

Обобщение фундаментальной теоремы утверждает, что и на псевдоримановом многообразии существует единственная связность, сохраняющая метрический тензор с любой заданной векторнозначной 2-формой в качестве его кручения.

Доказательство

Следующее техническое доказательство представляет собой формулу символов Кристоффеля связности в локальной системе координат. Для конкретной метрики эта система уравнений может стать достаточно сложной. Существуют более быстрые и простые методы получения символов Кристоффеля для конкретной метрики — например, с использованием интеграла действия и связанных с ним уравнений Эйлера-Лагранжа.

Пусть m — размерность многообразия M. В некоторой локальной карте рассмотрим стандартные координатные векторные поля

${\partial }_i=\frac{\partial }{\partial x^i},i=1,\dots ,m$.

Локально элемент g_ij метрического тензора имеет вид

$g_{ij}=⟨{\partial }_i,{\partial }_j⟩$.

Чтобы задать связность, достаточно для всех i, j и k определить

$⟨{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j,{\partial }_k⟩$.

Напомним, что локально связность задается m ³ гладкими функциями

$\left\{{\mathrm{\Gamma }}^l{}_{ij}\right\}$,

где

${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j=\sum _l{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l{\partial }_l$.

Условие отсутствия кручения означает, что

${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j={\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_j}{\partial }_i$.

С другой стороны, совместимость с римановой метрикой записывается как

${\partial }_k{g}_{ij}=⟨{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_k}{\partial }_i,{\partial }_j⟩+⟨{\partial }_i,{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_k}{\partial }_j⟩$.

Для фиксированных i, j и k перестановки дают 3 уравнения с 6 неизвестными. Предположение об отсутствии кручения сокращает количество переменных до трёх. Полученная системы из трёх линейных уравнений имеет единственное решение

$⟨{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j,{\partial }_k⟩=\frac{1}{2}({\partial }_i{g}_{jk}-{\partial }_k{g}_{ij}+{\partial }_j{g}_{ik})$.

Это первое тождество Кристоффеля.

Далее, заметим, что

$⟨{\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j,{\partial }_k⟩={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l{g}_{lk}$,

где мы используем соглашение Эйнштейна, то есть парные верхний и нижний индекс означают, что происходит суммирование по всем значениям этого индекса. Обращением метрического тензора получаем второе тождество Кристоффеля:

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^l=\frac{1}{2}({\partial }_i{g}_{jk}-{\partial }_k{g}_{ij}+{\partial }_j{g}_{ik})g^{kl}$.

Полученная связность и является связностью Леви-Чевиты.

Формула Кошуля

Альтернативное доказательство основной теоремы римановой геометрии состоит в том, чтобы показать, что метрическая связность без кручения на римановом многообразии M обязательно задается формулой Кошуля:

$\begin{array}{cc}2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)& =X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z(g(X,Y))\\ & +g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X),\end{array}$,

где векторное поле $X$ действует естественным образом на гладких функциях на римановом многообразии по формуле $Xf={\partial }_{X}f$.

Предположим, что связность удовлетворяет условиям симметричности

${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y]$

и совместимости с метрикой

$Xg(Y,Z)=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)$.

Тогда сумму $Xg(Y,Z)+Yg(X,Z)-Zg(Y,X)$ можно упростить, что и приводит к формуле Кошуля.

При этом выражение для $g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)$ однозначно определяет ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$, и напротив, формулу Кошуля можно использовать для задания ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$, каковым способом обычно и проверяют, что связность ${\mathrm{\nabla }}_X$ является симметричной и согласованной с метрикой gШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Citation