Полупрямое произведение

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам $H$ и $N$, и действию $\varphi$ группы $H$ на группе $N$ автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп $N$ и $H$ над $\varphi$ обычно обозначается $N{⋊}_{\varphi }H$.

Конструкция

Пусть задано действие группы $H$ на пространстве группы $N$ с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм $\varphi :H\to \text{Aut}(N)$ группы $H$ в группу автоморфизмов группы $N$. Автоморфизм группы $N$, соответствующий элементу $h$ из $H$ при гомоморфизме $\varphi$, обозначим ${\varphi }_h$. За множество элементов полупрямого произведения $G=N{⋊}_{\varphi }H$ групп $H$ и $N$ над гомоморфизмом $\varphi$ — берётся прямое произведение $N\times H$. Бинарная операция $*$ на $G$ определяется по следующему правилу:

$(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1\cdot {\varphi }_{h_1}(n_2),h_1\cdot h_2)$ для любых $n_1,n_2\in N$, $h_1,h_2\in H$.

Свойства

1. Группы $H$ и $N$ естественно вложены в $G$, причём $N$ — нормальная подгруппа в $G$.
2. Каждый элемент $g\in G$ однозначно разложим в произведение $g=nh$, где $h$ и $n$ — элементы групп $H$ и $N$ соответственно. (Это свойство оправдывает название группы $G$ как полупрямого произведения групп $H$ и $N$.)
3. Заданное действие $\varphi$ группы $H$ на группе $N$ совпадает с действием $H$ на $N$ сопряжениями (в группе $G$).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе $G$ (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

Пример

Группа вычетов по модулю 4 (${\mathbb{Z}}_4$) действует на ${\mathbb{Z}}_5$ (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

${\varphi }_h(n)=a^{h}n$, где $a$ — фиксированный ненулевой элемент ${\mathbb{Z}}_5$, $h\in {\mathbb{Z}}_4$, $n\in {\mathbb{Z}}_5$.

Соответственно, на множестве ${\mathbb{Z}}_5\times {\mathbb{Z}}_4$ можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

1. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1+n_2,h_1+h_2)$, где $a=1$;
2. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1+(-1{)}^{h_1}{n}_2,h_1+h_2)$, где $a=4\equiv -1(\mathrm{mod}5)$;
3. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1+2^{h_1}{n}_2,h_1+h_2)$;
4. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1+3^{h_1}{n}_2,h_1+h_2)$;

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

Литература

• Шаблон:Книга