Функция Морса

Линии уровня у морсовской функции на торе с четырьмя критическими точками

Функция Морса ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки.

Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии.

Определение

Пусть $W$ ― гладкое многообразие, край которого $\partial W$ является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий $F_0$ и $F_1$. Функция Морса триады $(W;F_0,F_1)$ ― такая гладкая класса $C^2$ функция $f:W\to [a,b]$, $-\mathrm{\infty }<a,b<+\mathrm{\infty }$ (или $f:W\to [a,\mathrm{\infty }]$) при $F_1=\varnothing$, что:

1. $F_0=f^{-1}(a),F_1=f^{-1}(b),$
2. все критические точки функции $f$ лежат в $W\mathrm{\setminus }\partial W=f^{-1}(a,b)$ и невырождены.

Свойства

• Если многообразие $W$ конечномерно, то для $k⩾2$ множество функций Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности.
• В пространстве всех $C^k$-гладких ($k⩾2$) функций

  $f:(W,F_0,F_1)\to ([a,b],a,b)$

множество функций Морса является плотным открытым множеством.

Вариации и обобщения

Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора) многообразия. При этом требуется дополнительное условие:

• (условие Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве $K\subset W$, где функция $f$ ограничена, а нижняя грань функции $|df(x)|$ равна нулю, существует критическая точка функции $f$.

Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.

В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра

См. также

• Граф Риба