Ряд Мёбиуса

Шаблон:Не путать Ряд Мёбиуса — функциональный ряд вида:

$F(x)=\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(sx)}{s^n}$,

примечательный тем, что был исследован Мёбиусом в 1832 году, и послужил одной из мотиваций для введения функции Мёбиуса $\mu (s)$, в дальнейшем получившей множество применений в теории чисел и смежных областях. Формула обращения для ряда, которую обнаружил Мёбиус:

$f(x)=\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (s)\frac{F(sx)}{s^n}$.

Наряду с формулами обращения Мёбиуса для конечных функциональных рядов, данное обращение является прямым следствием свойств свёртки Дирихле, в связи с тем, что функция Мёбиуса является обращением Дирихле единичной функции, то есть $1*\mu =ϵ$, где $*$ — свёртка Дирихле, а $ϵ$ — единица кольца Дирихле.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Из; см. также комментарии к английскому переводу статьи: Шаблон:Cite web