Квазичастица

Шаблон:Не путать Шаблон:Квазичастица Квазичасти́ца (от Шаблон:Lang-lat «наподобие», «нечто вроде») — понятие в квантовой механике, введение которого позволяет существенно упростить описание сложных квантовых систем со взаимодействием, таких, как твёрдые тела и квантовые жидкости.

Например, чрезвычайно сложное описание движения электронов в полупроводниках может упроститься введением квазичастицы под названием электрон проводимости, отличающейся от электрона массой (имеет эффективную массу) и движущейся в свободном пространстве. Для описания колебаний атомов в узлах кристаллической решётки в теории конденсированного состояния вещества используют фононы, для описания распространения элементарных магнитных возбуждений в системе взаимодействующих спинов — магноны.

Введение

Идея использования квазичастиц была впервые предложена Л. Д. Ландау в теории ферми-жидкости для описания жидкого гелия-3, позже её стали использовать в теории конденсированного состояния вещества. Описывать состояния таких систем напрямую, решая уравнение Шрёдингера с порядка 10Шаблон:Sup взаимодействующими частицами, невозможно. Обойти эту трудность удаётся сведением задачи взаимодействия частиц к более простой задаче с невзаимодействующими квазичастицами.

Квазичастицы в ферми-жидкости

Введение квазичастиц для ферми-жидкости производится плавным переходом от возбуждённого состояния идеальной системы (без взаимодействия между частицами), полученного из основного, с функцией распределения $n_0(\overrightarrow{p})$, путём добавления частицы с импульсом $\overrightarrow{p}$, адиабатическим включением взаимодействия между частицами. При таком включении возникает возбуждённое состояние реальной ферми-жидкости с тем же импульсом, так как он сохраняется при столкновении частиц. По мере включения взаимодействия, добавленная частица вовлекает в движение окружающих её частиц, образуя возмущение. Такое возмущение называют квазичастицей. Полученное таким образом состояние системы соответствует реальному основному состоянию плюс квазичастица с импульсом $\overrightarrow{p}$ и энергией, соответствующей данному возмущению. При таком переходе роль частиц газа (в случае отсутствия взаимодействия) переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число которых совпадает с числом частиц и которые, как и частицы, подчиняются статистике Ферми — Дирака.

Квазичастицы в твёрдых телах

Фонон как квазичастица

Описание состояния твёрдых тел, непосредственно решая уравнение Шредингера для всех частиц, практически невозможно из-за большого числа переменных и сложности учёта взаимодействия между частицами. Упростить такое описание удаётся введением квазичастиц — элементарных возбуждений относительно некого основного состояния. Часто учёт только низших энергетических возбуждений относительно этого состояния достаточен для описания системы, так как, согласно распределению Больцмана, состояния с большими значениями энергий даются с меньшей вероятностью. Рассмотрим пример применения квазичастиц для описания колебаний атомов в узлах кристаллической решётки.

Примером возбуждений с низкими энергиями может служить кристаллическая решётка при абсолютном нуле температуры, когда к основному состоянию, при котором колебания в решётке отсутствуют, добавляется элементарное возмущение определённой частоты, то есть фонон. Бывает, что состояние системы характеризуется несколькими элементарными возбуждениями, а эти возбуждения, в свою очередь, могут существовать независимо друг от друга, в таком случае это состояние интерпретируется системой невзаимодействующих фононов. Однако не всегда удаётся описать состояние невзаимодействующими квазичастицами из-за ангармонического колебания в кристалле. Тем не менее, во многих случаях элементарные возбуждения могут рассматриваться как независимые. Таким образом, можно приближенно считать, что энергия кристалла, связанная с колебанием атомов в узлах решётки, равна сумме энергии некоторого основного состояния и энергий всех фононов.

Квантование колебаний на примере фонона

Рассмотрим скалярную модель кристаллической решётки, согласно которой атомы колеблются вдоль одного направления. Пользуясь базисом плоских волн, напишем выражение для смещений атомов в узле:

$u_n(t)=\sum _{\overrightarrow{k}}{Q}_{\overrightarrow{k}}(t){\varphi }_{\overrightarrow{k}}({\overrightarrow{r}}_n),$

${\varphi }_{\overrightarrow{k}}({\overrightarrow{r}}_n)=\frac{1}{\sqrt{N}}{e}^{i\overrightarrow{k}{\overrightarrow{r}}_n}.$

В такой форме $Q_{\overrightarrow{k}}$ называют обобщёнными координатами. Тогда лагранжиан системы:

$L=\sum _n\frac{m{\dot{u}}_n^2}{2}-\frac{1}{2}\sum _{n,n^{\text{'}}}A({\overrightarrow{r}}_n-{\overrightarrow{r}}_{n^{\text{'}}})u_n{u}_{n^{\text{'}}}$

выразится в терминах $Q_{\overrightarrow{k}}$ в виде:

$L=\frac{m}{2}\sum \overrightarrow{k}({\dot{Q}}_{\overrightarrow{k}}^{*}{\dot{Q}}_{\overrightarrow{k}}-{\omega }_{\overrightarrow{k}}^2{Q}_{\overrightarrow{k}}^{*}{Q}_{\overrightarrow{k}}).$

Отсюда выражается канонический импульс и гамильтониан:

$P_{\overrightarrow{k}}=\frac{\delta L}{\delta {\dot{Q}}_{\overrightarrow{k}}}=m{\dot{Q}}_{\overrightarrow{k}}^{*},$

$H=\sum _{\overrightarrow{\overrightarrow{k}}}{P}_{\overrightarrow{k}}{\dot{Q}}_{\overrightarrow{k}}-L=\frac{1}{2m}\sum _{\overrightarrow{k}}(P_{\overrightarrow{k}}{P}_{\overrightarrow{k}}^{*}+m^2{\omega }_{\overrightarrow{k}}^2{Q}_{\overrightarrow{k}}^{*}{Q}_{\overrightarrow{k}}).$

Квантование действия производится требованием операторных правил коммутации для обобщённой координаты и импульса ($\hslash =1$):

$[Q_{\overrightarrow{k}},P_{{\overrightarrow{k}}^{\text{'}}}]=i{\delta }_{\overrightarrow{k},{\overrightarrow{k}}^{\text{'}}},$

$[Q_{\overrightarrow{k}},Q_{{\overrightarrow{k}}^{\text{'}}}]=[P_{\overrightarrow{k}},P_{{\overrightarrow{k}}^{\text{'}}}]=0.$

Для перехода к фононному представлению используют язык вторичного квантования, определив операторы рождения $a_{\overrightarrow{k}}^{+}$ и уничтожения $a_{\overrightarrow{k}}$ квантового фононного поля:

$[a_{\overrightarrow{k}},a_{{\overrightarrow{k}}^{\text{'}}}^{+}]=i{\delta }_{\overrightarrow{k},{\overrightarrow{k}}^{\text{'}}}[a_{\overrightarrow{k}},a_{{\overrightarrow{k}}^{\text{'}}}]=0.$

Прямым вычислением можно проверить, что требуемые правила коммутации выполняются для операторов:

$Q_{\overrightarrow{k}}=\frac{1}{\sqrt{2m{\omega }_{\overrightarrow{k}}}}(a_{\overrightarrow{k}}^{+}{e}^{i\omega t}+a_{-\overrightarrow{k}}{e}^{-i{\omega }_{\overrightarrow{k}}t}),$

$P_{\overrightarrow{k}}=i\sqrt{\frac{{\omega }_{\overrightarrow{k}}m}{2}}(a_{-\overrightarrow{k}}^{+}{e}^{i\omega t}-a_{\overrightarrow{k}}{e}^{-i{\omega }_{\overrightarrow{k}}t}).$

Заменив знак комплексного сопряжения $Q_{\overrightarrow{k}}^{*}$ на $Q_{\overrightarrow{k}}^{+}$ и учтя, что энергия — чётная функция квазиимпульса, ${\omega }_{\overrightarrow{k}}={\omega }_{-\overrightarrow{k}}$ (из однородности), получим выражения для кинетической и потенциальной частей гамильтониана:

$K=\frac{1}{2m}\sum _{\overrightarrow{k}}{P}_{\overrightarrow{k}}{P}_{-\overrightarrow{k}}=-\frac{1}{4}\sum _{\overrightarrow{k}}{\omega }_{\overrightarrow{k}}(a_{-\overrightarrow{k}}^{+}-a_{\overrightarrow{k}})(a_{\overrightarrow{k}}^{+}-a_{-\overrightarrow{k}}),$

$H=\frac{m{\omega }_{\overrightarrow{k}}^2}{2}\sum _{\overrightarrow{k}}{Q}_{\overrightarrow{k}}{Q}_{-\overrightarrow{k}}=\frac{1}{4}\sum _{\overrightarrow{k}}{\omega }_{\overrightarrow{k}}(a_{-\overrightarrow{k}}^{+}-a_{\overrightarrow{k}})(a_{\overrightarrow{k}}^{+}-a_{-\overrightarrow{k}}).$

Тогда гамильтониан примет вид:

$H=\sum _{\overrightarrow{k}}{\omega }_{\overrightarrow{k}}(a_{\overrightarrow{k}}^{+}{a}_{\overrightarrow{k}}+\frac{1}{2}).$

Иначе можно переписать:

$H=\sum _{\overrightarrow{k}}{E}_{\overrightarrow{k}}(n_{\overrightarrow{k}}+\frac{1}{2}),$

где

$n_{\overrightarrow{k}}=a_{\overrightarrow{k}}^{+}{a}_{\overrightarrow{k}}$ — оператор количества частиц, фононов,

$E_{\overrightarrow{k}}={\omega }_{\overrightarrow{k}}$ — энергия фонона с импульсом $\overrightarrow{k}.$

Такое описание колебаний в кристалле называется гармоническим приближением. Оно соответствует лишь рассмотрению квадратичных членов по смещениям в гамильтониане.

Квазичастицы в ферромагнетике, магноны

В случае ферромагнетика, при абсолютном нуле температуры, все спины выстраиваются вдоль одного направления. Такое расположение спинов соответствует основному состоянию. Если один из спинов отклонить от заданного направления и предоставить систему самой себе, начнёт распространяться волна. Энергия этой волны будет равна энергии возбуждения кристалла, связанной с изменением ориентации спина атома. Эту энергию можно рассматривать как энергию некоторой частицы, которую и называют магноном.

Если энергия ферромагнетика, связанная с отклонением спинов, невелика, то её можно представить в виде суммы энергий отдельных распространяющихся спиновых волн или, выражаясь иначе, в виде суммы энергий магнонов.

Магноны, как и фононы, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна

Свойства

• Квазичастицы характеризуются вектором $\overrightarrow{p}$, свойства которого похожи на импульс, его называют квазиимпульсом.
• Энергия квазичастицы, в отличие от энергии обычной частицы, имеет иную зависимость от импульса.
• Квазичастицы могут взаимодействовать между собой, а также с обычными частицами.
• Могут иметь заряд и/или спин.
• Квазичастицы с целым значением спина подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, с полуцелым — Ферми — Дирака.

Сравнение квазичастиц с обычными частицами

Между квазичастицами и обычными элементарными частицами существует ряд сходств и отличий. Во многих теориях поля (в частности, в конформной теории поля) не делают вообще никаких различий между частицами и квазичастицами.

Сходства

• Как и обычная частица, квазичастица может быть более-менее локализованной в пространстве и сохранять свою локализованность в процессе движения.
• Квазичастицы могут сталкиваться и/или взаимодействовать иным образом. При столкновении низкоэнергетических квазичастиц выполняются механические законы сохранения квазиимпульса и энергии. Квазичастицы могут также взаимодействовать и с обычными частицами (например, с фотонами).
• Для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии (то есть энергия пропорциональна квадрату импульса) можно ввести понятие эффективной массы. Поведение такой квазичастицы будет очень похоже на поведение обычных частиц.

Различия

• В отличие от обычных частиц, которые существуют сами по себе, в том числе и в пустом пространстве, квазичастицы не могут существовать вне среды, колебаниями которой они и являются.
• При столкновениях, для многих квазичастиц закон сохранения квазиимпульса выполняется с точностью до вектора обратной решётки.
• Закон дисперсии обычных частиц — это данность, которую никак не изменить. Закон дисперсии квазичастиц возникает динамически, и потому может иметь самый замысловатый вид.
• Квазичастицы могут иметь дробный электрический заряд или магнитный заряд.

Другие квазичастицы

• Электрон проводимости — имеет тот же заряд и спин, как у свободного электрона, но отличается законом дисперсии (зависимостью его энергии от квазиимпульса).
• Дырка — незаполненная валентная связь, которая проявляет себя как положительный заряд, по абсолютной величине равный заряду электрона.
• Ротон — коллективное возбуждение, связанное с вихревым движением в сверхтекучей жидкости.
• Полярон — квазичастица, соответствующая поляризации, связанной с движением электрона, обусловленной взаимодействием электрона с кристаллической решёткой.
• Плазмон — представляет собой коллективное колебание электронов в плазме.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Квазичастицы Шаблон:Wayback