Стационарное распределение

Стациона́рное распределе́ние цепи Маркова — это такое распределение вероятности, которое не меняется с течением времени.

Определение

Пусть $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ — однородная цепь Маркова с дискретным временем, счётным пространством состояний $\{1,2,\dots \}$, и матрицей переходных вероятностей $P=(p_{ij}),i,j=1,2,\dots$. Тогда дискретное распределение $𝐪=(q_1,q_2,\dots )$ называется стациона́рным (инвариа́нтным), если

$𝐪P=𝐪$.

Замечание

Если $𝐪$ — начальное распределение цепи $\{X_n\}$, то есть

$\mathbb{P}(X_0=i)=q_i,i\in \mathbb{N}$,

то и распределение всех остальных членов $X_n,n\ge 1$ также совпадает с $𝐪$.

Основная теорема о стационарных распределениях

Пусть $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ — цепь Маркова с дискретным пространством состояний. Тогда у этой цепи существует единственное стационарное распределение тогда и только тогда, когда в множестве ее состояний найдется ровно один положительно возвратный класс.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Эргодическое распределение.