Эргодическое распределение

Определение

Пусть $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ - однородная цепь Маркова с дискретным временем и счётным числом состояний. Обозначим

$p_{ij}^{(n)}=\mathbb{P}(X_n=j\mid X_0=i)$

переходные вероятности за $n$ шагов. Если существует дискретное распределение $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,\dots {)}^{\mathrm{\top }}$, такое что ${\pi }_i>0,i\in \mathbb{N}$ и

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_{ij}^{(n)}={\pi }_j,\mathrm{\forall }i=1,2,\dots$,

то оно называется эргоди́ческим распределе́нием, а сама цепь называется эргоди́ческой.

Основная теорема об эргодических распределениях

Пусть $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей $P=(p_{ij}),i,j=1,2,\dots$. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она

1. неразложима;
2. положительно возвратна;
3. апериодична.

Эргодическое распределение $𝝅$ тогда является единственным решением системы:

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\pi }_i=1,{\pi }_j\ge 0,{\pi }_j=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\pi }_i{p}_{ij},j\in \mathbb{N}$.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Стационарное распределение.