Регулярное семейство распределений

Регуля́рное семе́йство распределе́ний в математической статистике — это распределения, плотность которых дифференцируема относительно параметра.

Определение

Пусть дано параметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений $\{{\mathbb{P}}_{\theta }{\}}_{\theta \in \mathrm{\Theta }}$, где $\mathrm{\Theta }\subset ℝ$, так что $f(x\mid \theta )$ — плотность вероятности ${\mathbb{P}}_{\theta }$ для каждого $\theta \in \mathrm{\Theta }$. Тогда это семейство называется регулярным, если $\sqrt{f(x\mid \cdot )}$ непрерывно дифференцируема относительно параметра $\theta \in \mathrm{\Theta }$, то есть существует такое множество $D\subset ℝ$, что ${\mathbb{P}}_{\theta }(D)=1,\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }$, и

$\mathrm{\forall }x\in D,\sqrt{f(x\mid \cdot )}\in C^1(\mathrm{\Theta })$.

Примеры

• Пусть $\mathrm{\Theta }=\{\theta >0\}$, и ${\mathbb{P}}_{\theta }=\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\theta )$ — экспоненциальное распределение с параметром $\theta$. Тогда

$\frac{\partial }{\partial \theta }\sqrt{f(x\mid \theta )}=(\frac{1}{2\sqrt{\theta }}-\frac{\sqrt{\theta }x}{2})e^{-\theta x/2}\in C(\mathrm{\Theta }).$

Следовательно семейство распределений регулярно.

• Пусть $\mathrm{\Theta }=\{\theta >0\}$, и ${\mathbb{P}}_{\theta }=\mathrm{U}[0,\theta ]$ — непрерывное равномерное распределение на отрезке $[0,\theta ]$. Тогда легко видеть, что $D\supset [0,\mathrm{\infty })$, и $f(x\mid \cdot )$ разрывна в точке $\theta =x$. Таким образом семейство распределений нерегулярно.

Применение

Условие регулярности распределения рассматривается при выводе неравенства Рао-Крамера.

Литература

• Боровков А.А., Математическая статистика, 4-е изд., СПб.: "Лань", 2010. (§ 26. Неравенство Рао-Крамера и R-эффективные оценки)