Экспоненциальное распределение

Экспоненциа́льное (или показа́тельное) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение

Случайная величина $X$ имеет экспоненциальное распределение с параметром $\lambda >0$, если её плотность вероятности имеет вид:

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно $1/\lambda$. Сам параметр $\lambda$ тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины $X$ задана первым уравнением, и будем писать: $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$.

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x}& ,x\ge 0,\\ 0& ,x<0.\end{array}$

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

${\mathrm{M}}_X(t)={(1-\frac{t}{\lambda })}^{-1}$,

откуда получаем все моменты:

$𝔼\left[X^n\right]=\frac{n!}{{\lambda }^n}$.

В частности,

$𝔼[X]=\frac{1}{\lambda }$,

$𝔼\left[X^2\right]=\frac{2}{{\lambda }^2}$,

$\mathrm{D}[X]=\frac{1}{{\lambda }^2}$.

Независимость событий

Пусть $X\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$. Тогда $\mathbb{P}(X>s+t\mid X⩾s)=\mathbb{P}(X>t)$.

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

• Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа XШаблон:Sfn.
• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть $X_1,\dots ,X_n$ независимые случайные величины, и $X_i\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}({\lambda }_i)$. Тогда:

$Y=\min {\mathrm{\backslash limits}}_{i=1,\dots ,n}(X_i)\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right).$

• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )\equiv \mathrm{\Gamma }(1,1/\lambda ).$

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть $X_1,\dots ,X_n$ независимые случайные величины, и $X_i\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$. Тогда:

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(n,1/\lambda ).$

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть $U\sim U[0,1]$. Тогда:

$X=-\frac{1}{\lambda }\ln U\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda ).$

• Экспоненциальное распределение с параметром $\lambda =1/2$ — это частный случай распределения хи-квадрат:

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(1/2)\equiv {\chi }^2(2).$

• Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла.
• Пусть $X_1,\dots ,X_n$ независимые случайные величины, и $X_i\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$и $Y=\max X_1,...,X_n,Z=X_1+\frac{X_2}{2}+...+\frac{X_n}{n}$. Тогда:

$P(Y<t)=(1-\exp (-\lambda t){)}^n,P(Z<t)=(1-\exp (-\lambda t){)}^n.$

Литература

• Шаблон:Книга