Распределение Пирсона

Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения $\frac{df(x)}{dx}=\frac{a_{1}x+a_0}{b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2}f(x)$, где числа $a_0,a_1,b_0,b_1,b_2$ являются параметрами распределения.Шаблон:Sfn Частными случаями распределения Пирсона являются бета-распределение (распределение Пирсона I типа), гамма-распределение (распределение Пирсона III типа), распределение Стьюдента (распределение Пирсона VII типа), показательное распределение (распределение Пирсона X типа), нормальное распределение (распределение Пирсона XI типа). Распределения Пирсона широко используются в математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных. Для аппроксимации распределения вероятностей опытных данных численными методами вычисляют их первые четыре момента, а затем на их основе вычисляют параметры распределения Пирсона.Шаблон:Sfn

Свойства

Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами случайной величины. Пусть ${\mu }_k$ является $k$ центральным моментом случайной величины, имеющей распределение Пирсона. Тогда, если $a_1=1$, то

$a_0=\frac{{\mu }_3({\mu }_4+3{\mu }_2^2)}{A}$,

$b_0=-\frac{{\mu }_2(4{\mu }_2{\mu }_4-3{\mu }_3^2)}{A}$,

$b_1=-\frac{{\mu }_3(4{\mu }_2{\mu }_4+3{\mu }_2^2)}{A}$,

$b_2=-\frac{2{\mu }_2{\mu }_4-3{\mu }_3^2-6{\mu }_2^3}{A}$,

где $A=10{\mu }_4{\mu }_2-18{\mu }_2^3-12{\mu }_3^2$.Шаблон:Sfn

Типы распределений Пирсона

В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2$ различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим $D=b_0{b}_2-b_1^2$, $\lambda =\frac{b_1^2}{b_0{b}_2}$.Шаблон:Sfn

I тип

Распределениями Пирсона I типа являются бета — распределения. Условия: $D<0$, $\lambda <0$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=(\alpha +x)(-\beta +x)b_2$, $\alpha ,\beta >0$ Плотность вероятности: $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\alpha }^{2m}{\beta }^{2n}}{(\alpha +\beta {)}^{m+n+1}B(m+1,n+1)}(\alpha +x{)}^m(\beta -x{)}^n,& x\in [-\alpha ,\beta ]\\ 0,& x\notin [-\alpha ,\beta ]\end{array}$, где $B(m+1,n+1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(m+1)\mathrm{\Gamma }(n+1)}{\mathrm{\Gamma }(m+n+2)}$, $m>-1,n>-1$.Шаблон:Sfn

II тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями $\alpha =\beta ,m=n$.Шаблон:Sfn

III тип

Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения. Условия: $D<0$, $\lambda =\mathrm{\infty }$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=2(\alpha +x)b_1$. Плотность вероятности: $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{k^{m+1}}{\mathrm{\Gamma }(m+1)}(\alpha +x{)}^m{e}^{-k(\alpha +x)},& x>-\alpha ,k>0\\ 0,& x⩽-\alpha \end{array}$.Шаблон:Sfn

IV тип

Условия: $D>0$, $0<\lambda <1$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=({\alpha }^2+x^2)b_2$. Плотность вероятности: $f(x)=c({\alpha }^2+x^2{)}^{-m}\exp -\nu \arctan \frac{x}{\alpha }$, $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, $m⩾\frac{1}{2}$, где $c^{-1}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}({\alpha }^2+x^2{)}^{-m}\exp -\nu \arctan \frac{x}{\alpha }dx$.Шаблон:Sfn

V тип

Условия: $D=0$, $\lambda =1$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=(\alpha +x{)}^2{b}_2$. Плотность вероятности: $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\gamma }^{m-1}}{\mathrm{\Gamma }m-1}{x}^{-m}{e}^{-\frac{\gamma }{x}},& \gamma >0,m>1,x>0\\ 0,& x⩽0\end{array}$.Шаблон:Sfn

VI тип

Условия: $D<0$, $\lambda >1$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=(\alpha +x)(x-\beta )b_2$. Плотность вероятности: $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{(\alpha +\beta {)}^{-(m+n+1)}}{B(-m-n-1,n+1)}(x+\alpha {)}^m(x-\beta {)}^n,& x>\beta ,m-1>0,n>-1\\ 0,& x⩽\beta \end{array}$.Шаблон:Sfn

VII тип

Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента. Условия: $D>0$, $\lambda =0$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=({\alpha }^2+x^2)b_2$. Плотность вероятности: $f(x)=\frac{{\alpha }^{2m-1}}{B(m-\frac{1}{2},\frac{1}{2})}({\alpha }^2+x^2{)}^{-m}$, $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, $m⩾\frac{1}{2}$.Шаблон:Sfn

VIII тип

Условия: $D<0$, $\lambda <0$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=x(x+\alpha )b_2$. Плотность вероятности: $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{m+1}{{\alpha }^{m+1}}(x+\alpha {)}^m,& x\in [-\alpha ,0],-1<m<0\\ 0,& x\notin [-\alpha ,0]\end{array}$.Шаблон:Sfn

IX тип

Условия: $D<0$, $\lambda <0$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=x(x+\alpha )b_2$. Плотность вероятности: $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{m+1}{{\alpha }^{m+1}}(x+\alpha {)}^m,& x\in [-\alpha ,0],m<-1\\ 0,& x\notin [-\alpha ,0]\end{array}$. Шаблон:Sfn

X тип

Распределением Пирсона X типа является показательное распределение. Условия: $D=0$, $\lambda =0$, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=b_0$, $a_1=0$. Плотность вероятности: $f(x)=\{\begin{array}{cc}\gamma e^{-\gamma x},& x>0,\gamma >0\\ 0,& x⩽0\end{array}$Шаблон:Sfn

XI тип

Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение. Условия: $D=0$, $\lambda$ неопределённо, $b_0+2b_{1}x+b_2{x}^2=b_0$. Плотность вероятности: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp -\frac{x^2}{2{\sigma }^2},x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.Шаблон:Sfn

XII тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями $\alpha =\beta ,m=-n$.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга