Бета-распределение

Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью вероятности $f_X$, имеющей вид:

$f_X(x)=\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$,

где

• $\alpha ,\beta >0$ произвольные фиксированные параметры, и
• $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx$ — бета-функция.

Тогда случайная величина $X$ имеет бета-распределение. Пишут: $X\sim \mathrm{B}(\alpha ,\beta )$.

Форма графика

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров $\alpha$ и $\beta$.

• $\alpha <1,\beta <1$ — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
• $\alpha <1,\beta \ge 1$ или $\alpha =1,\beta >1$ — график строго убывающий (синяя кривая)
  • $\alpha =1,\beta >2$ — график строго выпуклый;
  • $\alpha =1,\beta =2$ — график является прямой линией;
  • $\alpha =1,1<\beta <2$ — график строго вогнутый;
• $\alpha =1,\beta =1$ график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
• $\alpha =1,\beta <1$ или $\alpha >1,\beta \le 1$ — график строго возрастающий (зелёная кривая);
  • $\alpha >2,\beta =1$ — график строго выпуклый;
  • $\alpha =2,\beta =1$ — график является прямой линией;
  • $1<\alpha <2,\beta =1$ — график строго вогнутый;
• $\alpha >1,\beta >1$ — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда $\alpha =\beta$, плотность вероятности симметрична относительно $1/2$ (красная и пурпурная кривые), то есть

$f_X(1/2-x)=f_X(1/2+x),x\in [0,1/2]$.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины $X$, имеющей бета-распределение, имеют вид:

$𝔼[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$,

$\mathrm{D}[X]=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$.

Моменты старших порядков случайной величины $X$, имеющей бета-распределение, имеют вид:

$𝔼[X^k]=\frac{{\alpha }^{(k)}}{(\alpha +\beta {)}^{(k)}}=\prod _{r=0}^{k-1}\frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r}$

где (x)^(k) - возрастающий факториал.

Связь с другими распределениями

• Бета-распределение является распределением Пирсона типа IШаблон:Sfn.
• Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:

  $\mathrm{U}[0,1]\equiv \mathrm{B}(1,1)$.

• Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
• Если $X,Y$ — независимые гамма-распределённые случайные величины, причём $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,1)$, а $Y\sim \mathrm{\Gamma }(\beta ,1)$, то

  $\frac{X}{X+Y}\sim \mathrm{B}(\alpha ,\beta )$ .

Литература

• Шаблон:Книга