Убывающие и возрастающие факториалы

Убывающий факториалШаблон:Sfn (иногда употребляются названия нижний, постепенно убывающий или нисходящий факториалШаблон:SfnШаблон:Sfn) записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как

$(x{)}_n=x^{\underset{\_}{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k=1}^n(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).$

Возрастающий факториал (иногда употребляются названия функция Похгаммера, многочлен ПохгаммераШаблон:Sfn, верхний, постепенно возрастающий или восходящий факториалШаблон:SfnШаблон:Sfn) определяется как

$x^{(n)}=x^{\bar{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1}^n(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).$

Значение обоих факториалов принимается равным 1 (Шаблон:Не переведено 5) для n = 0.

Символ Похгаммера, который предложил Лео Август Похгаммер, — это обозначение $(x{)}_n$, где $n$ — неотрицательное целое. В зависимости от контекста, символ Похгаммера может представлять убывающий факториал или возрастающий факториал, определённые выше. Необходимо проявлять осторожность при интерпретации символа в каждой конкретной статье. Сам Похгаммер использовал обозначение $(x{)}_n$ с совершенно другим смыслом, а именно для обозначения биномиального коэффициента $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})$Шаблон:Sfn.

В данной статье символ $(x{)}_n$ используется для представления убывающего факториала, а символ $x^{(n)}$ — для возрастающего факториала. Эти соглашения приняты в комбинаторикеШаблон:Sfn. В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции) символ Похгаммера $(x{)}_n$ используется для представления возрастающего факториала Полезный список формул для манипуляции с возрастающими факториалами в этой последней нотации дан в книге Люси СлейтерШаблон:Sfn. Кнут использовал термин факториальные степени, которые включают возрастающие и убывающие факториалы

Если Шаблон:Math — неотрицательное целое число, то $(x{)}_n$ даёт число [[Двенадцатиричный путь|Шаблон:Math-перестановок]] Шаблон:Math-элементного множества или, эквивалентно, число инъекций из множества с Шаблон:Math элементами в множество размера Шаблон:Math. Однако для этих значений используются другие обозначения, такие как ${}_x{P}_n$ и P(x,n). Символ Похгаммера используется большей частью для алгебраических целей, например, когда Шаблон:Math является неизвестной величиной, и в этом случае $(x{)}_n$ означает определённый многочлен от Шаблон:Math степени Шаблон:Math.

Примеры

Несколько первых возрастающих факториалов:

$x^{(0)}=x^{\bar{0}}=1$

$x^{(1)}=x^{\bar{1}}=x$

$x^{(2)}=x^{\bar{2}}=x(x+1)=x^2+x$

$x^{(3)}=x^{\bar{3}}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x$

$x^{(4)}=x^{\bar{4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x$

Несколько первых убывающих факториалов:

$(x{)}_0=x^{\underset{\_}{0}}=1$

$(x{)}_1=x^{\underset{\_}{1}}=x$

$(x{)}_2=x^{\underset{\_}{2}}=x(x-1)=x^2-x$

$(x{)}_3=x^{\underset{\_}{3}}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x$

$(x{)}_4=x^{\underset{\_}{4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x$

Коэффициенты, получающиеся при раскрытии скобок, являются числами Стирлинга первого рода.

Свойства

Возрастающий и убывающий факториалы можно использовать для выражения биномиальных коэффициентов:

$\frac{x^{(n)}}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-1}{n})$ и $\frac{(x{)}_n}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n}).$

Тогда многие тождества для биномиальных коэффициентов переносятся на возрастающие и убывающие факториалы.

Возрастающий факториал можно выразить через убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

$x^{(n)}={(x+n-1)}_n,$

или как убывающий факториал с противоположным аргументом,

$x^{(n)}={(-1)}^n{(-x)}_n.$

Возрастающий и убывающий факториалы вполне определены в любом унитальном кольце, а потому x может быть, например, комплексным числом, отрицательным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой комплексной функцией.

Возрастающий факториал можно расширить на вещественные значения Шаблон:Math с помощью гамма-функции:

$x^{(n)}=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)},$

и таким же образом убывающий факториал:

$(x{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-n+1)}.$

Если обозначить через Шаблон:Math взятие производной от Шаблон:Math, получим

$D^n(x^a)=(a{)}_n{x}^{a-n}.$

Символ Похгаммера является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции — гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 степенным рядом

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^{(n)}{b}^{(n)}}{c^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$

при условии, что c не равно 0, −1, −2, ... . Заметим, однако, что в литературе о гипергеометрической функции для возрастающего факториала используется обозначение ${(a)}_n$.

Связь с теневым исчислением

Убывающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с использованием оператора конечной разности $△$ и которая формально подобна теореме Тейлора. В этой формуле и многих других местах убывающий факториал $(x{)}_k$ при вычислении конечных разностей играет роль $x^k$ при вычислении производной. Заметим, например, похожесть

$\mathrm{\Delta }(x{)}_k=k(x{)}_{k-1},$

на

$D{x}^k=k{x}^{k-1},$

Похожие факты имеют место для возрастающих факториалов.

Изучение аналогий этого типа известно как «теневое исчисление». Основная теория, описывающая такие отношения, включая убывающие и возрастающие функции, рассматривается в теории Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5. Возрастающие и убывающие факториалы являются последовательностями Шеффера биномиального типа, что показывают следующие соотношения:

$(a+b{)}^{(n)}=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(a{)}^{(n-j)}(b{)}^{(j)}$

$(a+b{)}_n=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(a{)}_{n-j}(b{)}_j$

где коэффициенты те же самые, что и при разложении в степенной ряд биномиального тождества Вандермонда).

Аналогично, генерирующая функция многочленов Похгаммера тогда равна сумме теневых экспонент,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(x{)}_n\frac{t^n}{n!}=(1+t{)}^x,$

так как $△(1+t{)}^x=t(1+t{)}^x$.

Коэффициенты связи и тождества

Убывающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом с помощью чисел Лаха и с помощью сумм целых степеней переменной $x$, используя числа Стирлинга второго рода, следующим образом (здесь $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})=r^{\underset{\_}{k}}/k!$):

$\begin{array}{cc}{x}^{\underset{\_}{n}}& =\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})\frac{n!}{k!}\times (x{)}_k\\ & =(-1{)}^n(-x{)}_n=(x-n+1{)}_n=\frac{1}{(x+1{)}^{\overline{-n}}}\\ (x{)}_n& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-1{)}^{\underset{\_}{n-k}}\times x^{\underset{\_}{k}}\\ & =(-1{)}^n(-x{)}^{\underset{\_}{n}}=(x+n-1{)}^{\underset{\_}{n}}=\frac{1}{(x-1{)}^{\underset{\_}{-n}}}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{-x}{n})(-1{)}^{n}n!\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-1}{n})n!\\ x^n& =\sum _{k=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right\}{x}^{\underset{\_}{n-k}}\\ & =\sum _{k=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}(-1{)}^{n-k}(x{)}_k.\end{array}$

Поскольку убывающие факториалы являются базисом для кольца многочленов, мы можем выразить произведение двух из них в виде линейной комбинации убывающих факториалов:

$(x{)}_m(x{)}_n=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k!(x{)}_{m+n-k}.$

Коэффициенты при $(x{)}_{m+n-k}$ называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как число способов склеить Шаблон:Math элементов из множества из Шаблон:Math элементов и множества из Шаблон:Math элементов. Мы имеем также формулу связи для отношения двух символов Похгаммера

$\begin{array}{cc}\frac{(x{)}_n}{(x{)}_i}& =(x-i{)}_{n-i},n\ge i\\ \frac{x^{(n)}}{x^{(i)}}& =(x+i{)}^{(n-i)},n\ge i.\\ \end{array}$

Кроме того, с помощью следующих тождеств:

$\begin{array}{cc}{x}^{(m+n)}& =x^{(m)}(x+m{)}^{(n)}\\ (x{)}_{m+n}& =(x{)}_m(x-m{)}_n\\ \end{array}$

возрастающие и убывающие факториалы могут быть обобщёны для отрицательных порядков:

$\begin{array}{cc}{x}^{(-n)}& =\frac{1}{(x-n{)}^{(n)}}=\frac{1}{(x-1{)}_n}=\frac{1}{n!(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{n})}=\frac{1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}\\ (x{)}_{-n}& =\frac{1}{(x+1{)}^{(n)}}=\frac{1}{(x+n{)}_n}=\frac{1}{n!(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n}{n})}=\frac{1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}.\\ \end{array}$

Наконец, Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 для возрастающих факториалов дают следующие отношения:

$(x{)}_{k+mn}=(x{)}_k{m}^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}{\left(\frac{x+j+k}{m}\right)}_n,m\in \mathbb{N}$

$(ax+b{)}_n=x^n\prod _{k=0}^{x-1}{(a+\frac{b+k}{x})}_{n/x},x\in {\mathbb{Z}}^{+}$

$(2x{)}_{2n}=2^{2n}(x{)}_n{(x+\frac{1}{2})}_n.$

Альтернативные обозначения

Альтернативное обозначение для возрастающего факториала

$x^{\bar{m}}=\stackrel{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}{\overbrace{x(x+1)\dots (x+m-1)}}$ для целого $m\ge 0,$

И для убывающего факториала

$x^{\underset{\_}{m}}=\stackrel{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}{\overbrace{x(x-1)\dots (x-m+1)}}$ для целого $m\ge 0;$

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно. Грэм, Кнут и ПаташникШаблон:Sfn предложили произносить это выражение как "повышение Шаблон:Math на Шаблон:Math" и "понижение Шаблон:Math на Шаблон:Math" соответственно.

Другие обозначения для убывающего факториала включают $P(x,n){,}^x{P}_n,P_{x,n}$ или ${}_x{P}_n$. (См. статьи «Перестановка» и «Сочетание».)

Альтернативное обозначение $(x{)}_n^{+}$ для возрастающего факториала $x^{(n)}$ употребляется реже. Во избежание путаницы в случае, когда используется обозначение $(x{)}_n^{+}$ для возрастающего факториала, для обычного убывающего факториала используется обозначение $(x{)}_n^{-}$Шаблон:Sfn.

Обобщения

Символ Похгаммера имеет обобщённую версию, называемую Шаблон:Не переведено 5, и используется в многомерном анализе. Имеется также q-аналог, q-символ Похгаммера.

Обобщение убывающего факториала, в котором функция вычисляется на убывающей арифметической прогрессии:

$[f(x){]}^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),$.

Соответствующее обобщение возрастающего факториала

$[f(x){]}^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).$

Это обозначение объединяет возрастающий и убывающий факториалы, которые равны $[x{]}^{\frac{k}{1}}$ и $[x{]}^{\frac{k}{-1}}$ соответственно.

Для любой фиксированной арифметической функции $f:\mathbb{N}\to ℂ$ и символических параметров $x,t$, связанные обобщённые произведения вида

$(x{)}_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}(x+\frac{f(k)}{t^k})$

можно изучать с точки зрения классов обобщённых чисел Стирлинга первого рода, определённых с помощью следующих коэффициентов при $x$ в разложении $(x{)}_{n,f,t}$, а затем с помощью следующего рекуррентного соотношения:

$\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_{f,t}& =[x^{k-1}](x{)}_{n,f,t}\\ & =f(n-1)t^{1-n}{\left[\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right]}_{f,t}+{\left[\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right]}_{f,t}+{\delta }_{n,0}{\delta }_{k,0}.\end{array}$

Эти коэффициенты удовлетворяют многочисленным свойствам, аналогичным свойствам чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным отношениям и функциональным равенствам, связанным с f-гармоничными числами $F_n^{(r)}(t):=\sum _{k\le n}{t}^k/f(k{)}^r$.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Тождество Вандермонда

Литература

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья. Замечание о символах Похгаммера находится на странице 414.

• • Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Elementary Proofs