Теневое исчисление

Теневое исчисление (от Шаблон:Lang-en, далее от Шаблон:Lang-la — «тень») — математический метод получения некоторых алгебраических тождеств. До 1970-х термин относился к схожести некоторых внешне несвязанных алгебраических тождеств, а также к техникам, использованных для доказательства этих тождеств. Эти техники предложил Джон БлиссардШаблон:Sfn и они иногда называются символическим методом Блиссарда. Их часто приписывают Эдуарду Люка (или Джеймсу Джозефу Сильвестру), которые их интенсивно использовалиШаблон:Sfn.

В 1930-х и 1940-х Эрик Темпл Белл пытался поставить теневое исчисление на строгое основание.

В 1970-х Стивен Роман, Джан-Карло Рота и другие разработали теневое исчисление в смысле линейных функционалов на пространстве многочленов. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению Шаблон:Не переведено 5, включая последовательности многочленов Шаблон:Не переведено 5 и последовательности Аппеля, но может включать техники исчисления конечных разностей.

Теневое исчисление в 19-м столетии

Метод является процедурой обозначений, используемых для получающихся тождеств, вовлекающих индексированные последовательности чисел, предполагая, что индексы являются степенями. Буквальное использование абсурдно, но работает успешно — тождества, полученные с помощью теневого исчисления, могут быть должным образом получены с помощью более сложных методов, которые могут быть использованы буквально без логических трудностей.

Пример использует многочлены Бернулли. Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальные коэффициенты):

(y + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) y^{n - k} x^{k}

и удивительно похоже выглядящее соотношение для многочленов Бернулли:

B_{n} (y + x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{n - k} (y) x^{k} .

Также сравним первую производную

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

с очень похожим отношением для многочленов Бернулли:

\frac{d}{d x} B_{n} (x) = n B_{n - 1} (x) .

Эти сходства позволяют построить теневые доказательства, которые, на первый взгляд, не могут быть верны, но всё же работают. Так, для примера, если считать, что индекс $n - k$ является степенью:

B_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b^{n - k} x^{k} = (b + x)^{n},

после дифференцирования получаем желаемый результат:

{B_{n}}^{'} (x) = n (b + x)^{n - 1} = n B_{n - 1} (x) .

В формулах выше $b$ является «umbra» (латинское слово, обозначающее «тень»).

См. также Формула Фаульхабера.

Теневые ряды Тейлора

Похожие связи наблюдались также в теории конечных разностей. Теневая версия ряда Тейлора задаётся подобными выражениями, использующими $k$ -ые правосторонние разности $Δ^{k} [f]$ многочлена $f$ ,

f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{Δ^{k} [f] (0)}{k!} (x)_{k}

где

(x)_{k} = x (x - 1) (x - 2) \dots (x - k + 1)

— символ Похгаммера, используемый здесь для обозначения убывающего факториала. Похожее соотношение имеет место для левосторонних разностей и возрастающих факториалов.

Эти ряды известны также как ряды Ньютона или правостороннее разложение Ньютона. Аналог разложения Тейлора используется в исчислении конечных разностей.

Белл и Риордан

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такого рода аргументацию логически строгой. Джон Риордан, работавший в области комбинаторики, в своей книге Combinatorial Identities (Комбинаторные тождества), опубликованной в 1960-х годах, интенсивно использовал данную технику.

Современное теневое исчисление

Другой учёный в области комбинаторики, Джиан-Карло Рота, указал на то, что таинственность исчезает, если рассматривать линейный функционал $L$ над многочленами от $z$ , определённый как

L (z^{n}) = B_{n} (0) = B_{n} .

Тогда, используя определение многочленов Бернулли и определение линейности $L$ , можно записать

B_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{n - k} x^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) L (z^{n - k}) x^{k} = L (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) z^{n - k} x^{k}) = L ((z + x)^{n}) .

Это позволяет заменить вхождение $B_{n} (x)$ на $L ((z + x)^{n})$ , то есть перенести $n$ из нижнего индекса в верхний (ключевая операция теневых исчислений). Например, мы можем теперь доказать, что

B_{n} (y + x) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{n - k} (y) x^{k}

путём разложения правой части

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) B_{n - k} (y) x^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) L ((z + y)^{n - k}) x^{k} = L (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (z + y)^{n - k} x^{k}) = L ((z + x + y)^{n}) = B_{n} (x + y) .

Рота позднее утверждал, что много путаницы получились из-за неудач в различении трёх отношений эквивалентности, которые возникают в этой области.

В статье 1964 года Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии, которой удовлетворяют числа Белла, которые подсчитывают число разбиений конечных множеств.

В статье Романа и РотыШаблон:Sfn теневое исчисление описывается как изучение теневой алгебры (umbral algebra), определённой как алгебра линейных функционалов над векторным пространством многочленов от $x$ с произведением $L_{1} L_{2}$ линейных функционалов, определённым как

⟨ L_{1} L_{2} ∣ x^{n} ⟩ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) ⟨ L_{1} ∣ x^{k} ⟩ ⟨ L_{2} ∣ x^{n - k} ⟩ .

Если последовательность многочленов заменяет последовательность чисел как образы $y^{n}$ при линейном отображении $L$ , теневой метод выглядит как существенная составляющая общей теории Рота специальных многочленов и эта теория является теневым исчислением при некоторых более современных определениях этого терминаШаблон:Sfn. Небольшой пример этой теории можно найти в статье о Шаблон:Не переведено 5. Другая статья — Шаблон:Не переведено 5.

Позднее Рота применял теневое исчисление интенсивно в совместной статье с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств полуинвариантов Шаблон:Sfn.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Статья
Шаблон:Статья
Шаблон:Статья
Шаблон:Статья Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:MathWorld
Шаблон:Статья
Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I

Шаблон:Rq

Теневое исчисление

Содержание