Формула Фаульхабера

Формула Фаульхабера — выражение для суммы $p$-х степеней первых $n$ натуральных чисел:

$\sum _{k=1}^n{k}^p=1^p+2^p+3^p+\cdots +n^p$

как многочлена $(p+1)$-й степени с коэффициентами, содержащими числа Бернулли:

$\sum _{k=1}^n{k}^p=\frac{1}{p+1}\sum _{j=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+1}{j})B_j{n}^{p+1-j}$.

Названа в честь математика XVII века Иоганна Фаульхабера; также известна как формула Бернулли.

Формулы для первых шести степеней:

$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$ (треугольные числа)

$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$ (квадратные пирамидальные числа)

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$ (квадраты треугольных чисел)

$\begin{array}{cc}{1}^4+2^4+3^4+\cdots +n^4& =\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\\ & =\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{1}^5+2^5+3^5+\cdots +n^5& =\frac{[n(n+1){]}^2(2n^2+2n-1)}{12}\\ & =\frac{2n^6+6n^5+5n^4-n^2}{12}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{1}^6+2^6+3^6+\cdots +n^6& =\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}\\ & =\frac{6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n}{42}\end{array}$

Ссылки

• Шаблон:Cite news
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite book A very rare book, but Knuth has placed a photocopy in the Stanford library, call number QA154.8 F3 1631a f MATH. (Шаблон:Google books)
• Шаблон:Cite journal (Winner of a Lester R. Ford Award)
• Шаблон:Cite newss
• Шаблон:Cite news