Число Белла

Число Белла — число всех неупорядоченных разбиений $n$-элементного множества, обозначаемое $B_n$, при этом по определению полагают $B_0=1$. Названы в честь Эрика Белла, который изучил их в 1930-е годы.

Шаблон:ЯкорьЗначения $B_n$ для $n=0,1,2,\dots$ образуют последовательность Белла:

1, Шаблон:Nums

Ряд чисел Белла обозначает число способов, с помощью которых можно распределить $n$ пронумерованных шаров по $n$ идентичным коробкам. Кроме этого, числа Белла дают возможность узнать сколько существует способов разложить на множители составное число, состоящее из $n$ простых множителейШаблон:Sfn.

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

$B_n=\sum _{m=0}^{n}S(n,m)$,

а также задать в рекуррентной форме:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k$.

Шаблон:ЯкорьДля чисел Белла справедлива также формула ДобинскогоШаблон:Sfn:

$B_n=\frac{1}{e}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n}{k!}$.

Шаблон:ЯкорьЕсли $p$ — простое, то верно сравнение Тушара:

$B_{n+p}\equiv B_n+B_{n+1}(\mathrm{mod}p)$

и более общее:

$B_{n+p^m}\equiv m{B}_n+B_{n+1}(\mathrm{mod}p)$.

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет видШаблон:Sfn:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n=e^{e^x-1}$.

См. также

• Кодо (искусство)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья