Числа Стирлинга первого рода

Числа Стирлинга первого рода (без знака) — количество перестановок из n элементов с k циклами.

Определение

Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:

$(x{)}_n=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^k,$

где $(x{)}_n$ — символ Похгаммера (убывающий факториал):

$(x{)}_n=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).$

Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения, называемые числами Стирлинга первого рода без знака, задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами, и обозначаются $c(n,k)$ или $\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]$:

$c(n,k)=|s(n,k)|=(-1{)}^{n-k}s(n,k).$

Их производящей функцией является возрастающий факториал:

$\sum _{k=0}^{n}c(n,k)x^k=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=x^{\overline{n}}=(x+n-1{)}_n.$

Рекуррентное соотношение

Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:

$s(0,0)=c(0,0)=1$,

$s(n,0)=c(n,0)=0$, для n > 0,

$s(0,k)=c(0,k)=0$, для k > 0,

для чисел со знаком: $s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)\cdot s(n-1,k)$ для $0<k<n.$

для чисел без знака: $c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)\cdot c(n-1,k)$ для $0<k<n.$

Доказательство

Для n=1 это равенство проверяется непосредственно. Пусть перестановка (n-1)-го порядка распадается на k циклов. Число n можно добавить после любого числа в соответствующий цикл. Все полученные перестановки различны и содержат k циклов, их количество (n-1)·s(n-1, k). Из любой перестановки (n-1)-го порядка, содержащей k-1 цикл, можно сформировать единственную перестановку n порядка, содержащую k циклов, добавив цикл образованный единственным числом n. Очевидно, что эта конструкция описывает все перестановки n-го порядка, содержащие k циклов. Тем самым равенство доказано.

Пример

Первые числа Стирлинга со знаком:

n\k	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	0	1
2	0	−1	1
3	0	2	−3	1
4	0	−6	11	−6	1
5	0	24	−50	35	−10	1
6	0	−120	274	−225	85	−15	1

См. также

• Число Стирлинга второго рода
• Факториал
• Субфакториал

Ссылки

• Д. Белешко Комбинаторика (часть 2). СПбГУ ИТМО.