Гамма-распределение

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр $k$ принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{k-1}\frac{e^{-x/\theta }}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array},$ где $\mathrm{\Gamma }(k)$ — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина $X$ имеет гамма-распределение с положительными параметрами $\theta$ и $k$. Пишут $X\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )$.

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины $X$, имеющей гамма-распределение, имеют вид

$𝔼[X]=k\theta$,

$𝔻[X]=k{\theta }^2$.

Свойства гамма-распределения

• Если $X_1,\dots ,X_n$ — независимые случайные величины, такие что $X_i\sim \mathrm{\Gamma }(k_i,\theta ),i=1,\dots ,n$, то

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(\sum _{i=1}^n{k}_i,\theta )$.

• Если $X\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )$, и $a>0$ — произвольная константа, то

$aX\sim \mathrm{\Gamma }(k,a\theta )$.

• Гамма-распределение бесконечно делимо.

Связь с другими распределениями

• Гамма-распределение является распределением Пирсона типа IIIШаблон:Sfn.
• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения:

$\mathrm{\Gamma }(1,1/\lambda )\equiv \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda )$.

• Если $X_1,\dots ,X_k$ — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что $X_i\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda ),i=1,\dots ,k$, то

$Y=\sum _{i=1}^k{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(k,1/\lambda )$.

• Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения:

$\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2},2)\equiv {\chi }^2(n)$.

• Согласно центральной предельной теореме, при больших $k$ гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением:

$\mathrm{\Gamma }(k,\theta )\approx \mathrm{N}(k\theta ,k{\theta }^2)$ при $k\to \mathrm{\infty }$.

• Если $X_1,X_2$ — независимые случайные величины, такие что $X_i\sim \mathrm{\Gamma }(k_i,1),i=1,2$, то

$\frac{X_1}{X_1+X_2}\sim \mathrm{B}(k_1,k_2)$.

• Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Обычное распределение Вейбулла заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Распределение Накагами заменой переменной сводится к гамма-распределению.
• Естественным обобщением гамма-распределения является усеченное гамма-распределение.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение $\mathrm{\Gamma }(1,1)$ совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то $-\ln U\sim \mathrm{\Gamma }(1,1)$.

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

$\sum _{i=1}^n-\ln U_i\sim \mathrm{\Gamma }(n,1),$

где U_i — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < $\delta$ < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

1. Положить m равным 1.
2. Сгенерировать $V_{2m-1}$ и $V_{2m}$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
3. Если $V_{2m-1}\le v_0$, где $v_0=\frac{e}{e+\delta }$, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
4. Положить ${\xi }_m={\left(\frac{V_{2m-1}}{v_0}\right)}^{\frac{1}{\delta }},{\eta }_m=V_{2m}{\xi }_m^{\delta -1}$. Перейти к шагу 6.
5. Положить ${\xi }_m=1-\ln \frac{V_{2m-1}-v_0}{1-v_0},{\eta }_m=V_{2m}{e}^{-{\xi }_m}$.
6. Если ${\eta }_m>{\xi }_m^{\delta -1}{e}^{-{\xi }_m}$, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
7. Принять $\xi ={\xi }_m$ за реализацию $\mathrm{\Gamma }(\delta ,1)$.

Подытожим:

$\theta (\xi -\sum _{i=1}^{[k]}\ln U_i)\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta ),$

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); U_i и V_l распределены как указано выше и попарно независимы.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга