Бесконечно делимое распределение

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

Случайная величина $Y$ называется бесконечно делимой, если для любого $n\in \mathbb{N}$ она может быть представлена в виде

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i^{(n)}$,

где ${\left\{X_i^{(n)}\right\}}_{i=1}^n$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

• Характеристическая функция ${\varphi }_Y(t)$ бесконечно делимой случайной величины $Y$ имеет вид:

${\varphi }_Y(t)={\varphi }_{X^{(n)}}^n(t)$.

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Теорема Колмогорова

Для того, чтобы функция распределения $\mathrm{\Phi }(x)$ c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции $\varphi (t)$ имел вид:

$\ln \varphi (t)=i\gamma t+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itx}-1-itx}{x^2}dG(x)$,

где $\gamma$ — вещественная постоянная, а $G(x)$ — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

Пусть $\varphi (t)$ — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на $ℝ$. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации $G:ℝ\to ℝ$, такая что

$\ln \varphi (t)=i\delta t+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(e^{itu}-1-\frac{itu}{1+u^2})\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)$

Примеры

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

• Пусть задано вероятностное пространство $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)$, где

$m(n)=\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{-\lambda }$

для некоторого $\lambda >0$. Тогда случайная величина $X:\mathbb{N}\to ℝ$, имеющая вид

$X(n)=n,n\in \mathbb{N}$

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группах

Распределение $\mu$ на локально компактной абелевой группе $X$ называется бесконечно делимым, если для каждого натурального $n$ существует элемент $x_n\in X$ и распределение ${\mu }_n$ на $X$ такой, что $\mu ={\mu }_n^{*n}*E_{x_n}$, где $E_{x_n}$ - вырожденное распределение, сосредоточенное в $x_n$ (см. , ).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.

См. также

• Устойчивое распределение.

Литература

• Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.