Распределение Рэлея

Распределение Рэлея — распределение вероятностей случайной величины $X$ с плотностью

f (x; σ) = \frac{x}{σ^{2}} \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}), x ⩾ 0, σ > 0,

где $σ$ — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид

𝖯 (X ⩽ x) = \int_{0}^{x} f (ξ) d ξ = 1 - \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}), x ⩾ 0 .

Введено впервые в 1880 г. Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.

Применение

В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как $X$ и $Y$ , получим выражение для величины промаха в виде $R = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ . В этом случае величина $R$ имеет распределение Рэлея.
В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.

Если $X$ и $Y$ — независимые гауссовские случайные величины, имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии $σ^{2}$ , то случайная величина $Z = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ имеет распределение Рэлея.
Если независимые гауссовские случайные величины $X$ и $Y$ имеют ненулевые математические ожидания, в общем случае неравные, то распределение Рэлея переходит в распределение Райса.
Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с $σ = 1$ имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.
Распределение Рэлея заменой переменной сводится к гамма-распределению.